$\Z_p$ extension de $\Q$

$\newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\Hom}{\mathrm{Hom}}$
Salut reuns,

En espérant ne pas me tromper, voici une preuve qui ne suppose pas Kronecker-Weber ni global ni local (en fait, qui en reprouve un morceau). Ca n'utilise que Hermite-Minkowski et des propriétés élémentaires des groupes de ramification (même pas Hasse-Arf).

Soit $G=G_\Q$, et pour tout premier $\ell$, soit $G_\ell$ un groupe de décomposition en $\ell$, $I_\ell$ son sous-groupe d'inertie et $P_\ell$ son sous-groupe d'inertie sauvage, $\sigma_\ell\in G_\ell$ un Frobénius, $\tau_\ell\in I_\ell$ un progénérateur de $I_\ell/P_\ell$, de sorte qu'on a $\sigma_\ell^{-1}\tau_\ell\sigma_\ell = \tau_\ell^\ell \bmod P_\ell$.

Soit $\phi_0 \colon G \to \Z_p$ le morphisme correspondant à la $\Z_p$-extension cyclotomique. Soit $M = \Hom(G,\Z_p)$; c'est un $\Z_p$-module et on veut montrer que $M = \Z_p\phi_0$.

Soit $\phi \in M$.

Soit $\ell\neq p$ premier. Comme $P_\ell$ est un groupe pro-$\ell$ et $\Z_p$ est pro-$p$, $\phi$ est trivial sur $P_\ell$. De plus, $\ell \phi(\tau_\ell) = \phi(\tau_\ell^\ell) = \phi(\sigma_\ell^{-1}\tau_\ell\sigma_\ell) = \phi(\tau_\ell)$, donc $(\ell-1)\phi(\tau_\ell) = 0$ donc $\phi(\tau_\ell)=0$ car $\Z_p$ est sans torsion. Par conséquent, $\phi$ est nulle sur $I_\ell$.

On a donc montré que $\phi$ n'est ramifié qu'en $p$.

En particulier, $M$ est un $\Z_p$-module de type fini car il n'y a qu'un nombre fini d'extensions de $\Q$ de degré $p$ non ramifiées hors de $p$. Il suffit donc de montrer que $M/pM$ est un $\F_p$-espace vectoriel de dimension $1$ pour conclure.

Considérons à nouveau $\phi\in M$, et prenons-le surjectif pour éviter les trivialités.

Comme il n'existe pas d'extension de $\Q$ ramifiée en aucun premier, on a $\phi(G_p) \subset \phi(I_p)$; comme $\tau_p\bmod P_p$ est de pro-ordre premier à $p$, on a $\phi(I_p) \subset \phi(P_p)$.

Rappelons deux résultats de de Serre Corps Locaux Chapitre 4 (Groupes de ramification) paragraphe 2 :
Exercice 3) c) : soit $K/\Q_p$ une extension finie Galoisienne d'indice de ramification $e$; alors pour tout $i>e/(p-1)$, le $i$-ème groupe de ramification de $K$ est trivial.
Proposition 11 : si $G$ est le groupe de Galois d'une extension finie de corps $p$-adiques, les $i\ge 1$ tels que $G_i\neq G_{i+1}$ sont congrus mod $p$.

Soit $K = \overline{\Q_p}^{\ker(\phi \bmod p)}$ et $K_0 = \overline{\Q_p}^{\ker(\phi_0 \bmod p)}$, qui sont des extensions cycliques de degré $p$ totalement ramifiées de $\Q_p$.

Supposons que $K\neq K_0$.
Soit $L = KK_0$, qui est totalement ramifiée, galoisienne sur $\Q_p$ de groupe de Galois $C_p^2$; notons $H$ ce groupe de Galois et $H_i$ ses groupes de ramification. D'après l'exercice, $H_{p+2}$ est trivial. De plus, d'après ce qu'on a démontré précédemment, $H = H_1$. Les $H_i/H_{i+1}$ sont d'ordre au plus $p$ car le corps résiduel de $L$ est $\F_p$, donc d'après la Proposition 11, les saut dans la suite des groupes de ramification sont $H_1\neq H_2$ et $H_{p+1}\neq H_{p+2}$. Soit $J$ un sous-groupe d'indice $p$ de $H$. On a $(H/J)_2 = 1$ d'après ce qui précède; par ailleurs $(H/J)_2 = (H/J)^{1+1/p}$ est l'image de $H^{1+1/p} = H_2$ dans $H/J$, donc $H_2\subset J$, et par égalité des indices dans $H$ on a $J = H_2$. On obtient que $H_2$ est l'unique sous-groupe d'indice $p$ de $H$, donc $H$ est cyclique, contradiction.

Donc $K = K_0$; par conséquent il existe $a\in\F_p^\times$ tel que $\phi\bmod p = a(\phi_0\bmod p)$.

On a donc bien montré que $M/pM$ est de dimension $1$, donc $M = \Z_p\phi_0$ et l'extension cyclotomique est la seule $\Z_p$-extension de $\Q$.

Amicalement,
Aurel