Combinaison linéaire et divisibilité

iotala · September 2019

Bonjour
J'ai une question qui me taraude le cerveau.

Je dois trouver l'entier $n$ tel que $n-4$ divise $3n+4$. Pas de soucis j'utilise le fait que $n-4$ divise toute combinaison linéaire de $n-4$ et $3n+4$, soit $n-4$ divise $u(n-4) + v(3n+4)$. Si je prends $u = -3$ et $v = 1$, tout va bien, je trouve $n-4$ divise $16$, etc ...
Mais maintenant si je prend $u = -30$ et $v=10$ (ou tout autre multiple de $-3$ et de $1$), ma propriété est vérifiée dans un sens mais pas dans l'autre, c'est-à-dire que les $n$ que je trouve ne répondent pas à la question initiale.
J'ai donc une propriété nécessaire mais pas suffisante.

Comment alors déterminer de manière générale $u$ et $v$ de façon à parvenir à mes fins ? Très clairement le PPCM des coefficients de $n$ est en jeu mais je n'arrive pas à mettre le doigt sur une preuve satisfaisante (Bézout, PGCD ??)

Merci de votre aide...

Fin de partie · September 2019

Je ne comprends pas l'intérêt de ta question.

Soient $a,b$ des entiers naturels non nuls.
$a$ divise $b$ si et si seulement $\text{pgcd}(a,b)=a$

PS:
C'est un phénomène fréquent en mathématiques qu'on ne puisse pas raisonner par équivalence (au moins en apparence) mais que le plus immédiat est par implication on arrive à un ensemble de candidats comme solutions du problème qui soit un ensemble fini. Il ne reste plus qu'à vérifier si ces candidats sont des solutions, ou pas.

PS2:
Pour pouvoir trier le bon grain de l'ivraie il faut que cet ensemble de candidats à être solutions ne contienne pas trop d'éléments.

Lagrida · September 2019

Votre question est simple et ne demande pas de trouver $u$ ou $v$ ...
$\dfrac{3n+4}{n-4} = \dfrac{3(n-4)+16}{n-4} = 3+\dfrac{16}{n-4}$

Voir que $\dfrac{3n+4}{n-4} \in \mathbb{N} \iff \dfrac{16}{n-4} \in \mathbb{N}$

On a $\dfrac{16}{n-4} \in \mathbb{N} \iff (n-4)\in\{1,2,4,8,16\}$, par la suite : $n \in\{5, 6, 8, 12, 20\}$