Équation quadratique modulo un produit

marwanus · October 2019

Soient $a,b,c$ des entiers premiers entre eux deux à deux et sans facteurs carrés.
Soient $u,v,w$ des entiers tels que $au^2 + bv^2 + cw^2\equiv 0 \pmod{|abc|}$,
avec $au^2 , bv^2 , cw^2$ premiers entre eux deux à deux.
Soit $ (x, y, z) \in A_0 := \{(x, y, z) \in \Bbb Z^3 \mid aux + bvy + cwz \equiv 0 \pmod{ |abc|}\}$
Montrer que $ax^2 + by^2 + cz^2 \equiv 0 \pmod {|abc|}$

Je ne sais pas par où commencer. Je vous remercie pour votre aide.

claude quitté · October 2019

A vue de nez, les objets qui interviennent me font penser à une conique de Legendre. Et peut-être que tu es en train d'étudier le critère de Legendre de l'existence d'un $\Q$-point de cette conique ? Et le réseau $A_0$ il sort d'où ? Beaucoup de questions indiscrètes, n'est ce pas ?

claude quitté · October 2019

@marwanus
Je pose $s = ax^2 + by^2 + cz^2$, somme dont tu veux démontrer la nullité modulo $abc$, sous le couvert des hypothèses. J'ai montré que
$$
a^2u^2 \times s \equiv 0 \bmod abc, \qquad\qquad b^2v^2 \times s \equiv 0 \bmod abc \qquad\qquad (\heartsuit)
$$Mais dans tes hypothèses il y a $au, bv$ premiers entre eux. A fortiori, $a^2u^2, b^2v^2$ premiers entre eux. Il y a donc $\alpha, \beta \in \Z$ tels que
$$
\alpha\ a^2u^2 + \beta\ b^2v^2 = 1
$$Et en combinant $(\heartsuit)$ avec $\alpha, \beta$, on obtient $s \equiv 0 \bmod abc$, ce que tu voulais.

1. Est ce que c'est un peu près clair ?

2. Bien sûr, ce que tu voudrais voir c'est la preuve de $(\heartsuit)$, n'est ce pas ? Cf le point suivant.

3. Mais comment ai je pu obtenir $(\heartsuit)$ ? Je l'avoue : j'ai tué l'arithmétique dans tes hypothèses et j'ai remplacé ton problème arithmétique par un problème d'algèbre commutative avec des indéterminées $a,b,c,\ u,v,w,\ x,y,z$ et un certain travail. Et en fait, c'est essentiellement cette phase qui m'intéressait car tu ne le sais peut-être pas, quand je donne un coup de main, c'est très égoïste, c'est pour apprendre quelque chose.

4. Est ce que tu veux en savoir plus ? Auquel cas, je te fournirais évidemment la preuve de $(\heartsuit)$.

claude quitté · October 2019

Bon, peut-être que l'on ne saura jamais d'où vient l'énoncé initial. Et si on en profitait pour donner une solution dont on ne saura pas d'où elle vient. On oublie (provisoirement) l'énoncé initial. Etant donnés $a,b,c, u,v,w, x,y,z$ des éléments d'un anneau commutatif, on pose :
$$
H_1 = au^2 + bv^2 + cw^2, \qquad H_2 = aux + bvy + cwz, \qquad C = ax^2 + by^2 + cz^2
$$Par contre, on se souvient tous, depuis l'école primaire, de l'identité suivante :
$$
au^2 C + (vz - wy)^2 bc = (by^2 + cz^2)H_1 + (aux - bvy - cwz) H_2 \qquad\qquad (\star)
$$Venons en maintenant à l'énoncé initial de marwanus où $a,b,c \cdots$ sont des entiers et on a $H_1 \equiv 0 \bmod abc$ et $H_2 \equiv 0 \bmod abc$. Of course $H_1, H_2$ pour hypothèse. On multiplie alors $(\star)$ par $a$ et on obtient :
$$
a^2u^2 C \equiv 0 \bmod abc
$$On obtiendrait de la même manière $b^2v^2 C \equiv 0 \bmod abc$. Comme déjà dit dans mon post précédent, en utilisant $au \wedge bv = 1$, cela entraîne $C \equiv 0 \bmod abc$. $C$ pour conclusion of course.

Qu'a-t-on appris ainsi ? Probablement rien. Disposer de l'origine de l'énoncé serait pour moi important (je m'en doute un peu mais ...)

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