Nombre irrationnel ?

Fibonacci · October 2019

Bonjour petit test: demandez si le nombre : $$

(\sqrt 6 + 4\sqrt 2) - \sqrt 2
$$ est irrationnel, vous aurez des réponses surprenantes : j'ai demandé à une douzaine de personnes et elles ont toutes commis une erreur ...
C'est vrai qu'ils ont répondu sans réfléchir …
a+
Fibonacci

[Avec $\LaTeX$ c'est plus lisible. AD]

Chaurien · October 2019

Euh ce qui est demandé c'est bien l'irrationalité de $(\sqrt{6}+4\sqrt{2})-\sqrt{2}$ ? Bref de $\sqrt{6}+3\sqrt{2}$ ?
Si c'est bien le cas, supposer que $\sqrt{6}+3\sqrt{2}=r \in \mathbb Q$, et aboutir à une contradiction.
Bonne nuit.

reuns · October 2019

La théorie de Galois rend ces choses particulièrement simples, pour tout entier $u,v $ il existe un automorphisme de $\C$ qui envoie $\sqrt{2}$ vers $(-1)^u \sqrt{2}$ et $\sqrt{3}$ vers $(-1)^v\sqrt{3}$ donc qui envoie $\sqrt{2}\sqrt{3}+4\sqrt{2}-\sqrt{2}$ vers $(-1)^{u+v}\sqrt{2}\sqrt{3}+(-1)^u4\sqrt{2}-(-1)^u\sqrt{2}$

En prenant $u=0$ et $v=1$ on a un automorphisme qui envoie $\sqrt{2}\sqrt{3}+4\sqrt{2}-\sqrt{2}$ vers un complexe différent ce qui ne serait pas le cas s'il était rationnel.

Cidrolin · October 2019

S'agit-il de $\sqrt{(2+\sqrt2)^2} -\sqrt 2$ ?

gerard0 · October 2019

Il y a en effet un gros problème de parenthésage dans le message initial : " (sqrt6+4sqrt2))-sqrt2 "; deux parenthèses fermantes pour une seule ouvrante.

Cordialement.

Fibonacci · October 2019

Je m'excuse,
le nombre est:
(6+4sqrt)^(1/2)-sqrt2.. ou bien:

sqrt(6+4sqrt(2))-sqrt2

a+

Fibonacci

gerard0 · October 2019

Tu devrais apprendre à écrire les formules en LaTeX, tu aurais vu le problème immédiatement. Et te relire : "(6+4sqrt)^(1/2)-sqrt2" n'a pas de sens.

$(6+4\sqrt 2)^{\frac 1 2}-\sqrt 2$ ou $\sqrt{6+4\sqrt{2}}-\sqrt2$ (utilise "citer" pour voir le message et son écriture LaTeX).

Cordialement.

reuns · October 2019

Et donc Fibonacci en utilisant l'automorphisme qui envoie $\sqrt{2}$ vers $-\sqrt{2}$ c'est un rationnel ou pas ?

JLT · October 2019

On peut remarquer que $6+4\sqrt{2}=2(1+\sqrt{2})^2$.

gerard0 · October 2019

JLT,

Voir le message de Cidrolin.

Cordialement.

Fibonacci · October 2019

Merci pour le conseil, je vais essayer de le suivre .. Ce forum est fantastique avec tant de gens si préparés et gentils ..
a+

Fibonacci · October 2019

$\sqrt{6+4\sqrt{2}}-\sqrt{2}$
J'avais essayé Latex il y a quelques années, mais j'avais abandonné parce que j'avais trop de problèmes. Suite à vos conseils, j’ai écrit la formule avec Latex: super !!!
Merci bien.
a+
Fibonacci.

Fibonacci · October 2019

Voici un autre numéro qui peut tromper ... Ce n'est pas un nombre irrationnel !!! $$

\sqrt{6}-\sqrt{7-2\sqrt{6}}

$$ a+
Fibonacci.

nodgim · October 2019

Oui, ça fait 1.

lourrran · October 2019

AD a corrigé le 1er message, mais il l'a mal corrigé... la discussion va devenir illisible.
La bonne formule est : $\sqrt{6+4\sqrt{2}}-\sqrt{2}$

[Je n'ai pas corrigé, j'ai latexifié. La formule est telle qu'à l'origine. AD]

gerard0 · October 2019

Fibonacci,

il y a plein d'expressions de ce genre, qu'on peut construire facilement à partir d'expressions développées de $(a+\sqrt b)^2$ et/ou $(a-\sqrt b)^2$.
Par exemple, avec $(5+\sqrt 5)^2 = 30+10\sqrt 5$ et $(5-\sqrt 5)^2 = 30-10\sqrt 5$ :\sqrt
$\sqrt{30+10\sqrt 5}+\sqrt{30-10\sqrt 5}$ est un entier.

Attention cependant avec $(a-\sqrt b)^2$ lorsque $a<\sqrt b$.

Cordialement.

NB : Ces expressions ont été très étudiées par les concepteurs de logiciels formels, l'absence d'une écriture conventionnelle unique pour les expressions algébriques avec des racines carrées restant un problème irrésolu.

Nombre irrationnel ?

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