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Nombre irrationnel ?

Envoyé par Fibonacci 
Nombre irrationnel ?
il y a sept semaines
Bonjour petit test: demandez si le nombre : $$

(\sqrt 6 + 4\sqrt 2) - \sqrt 2
$$ est irrationnel, vous aurez des réponses surprenantes : j'ai demandé à une douzaine de personnes et elles ont toutes commis une erreur ...
C'est vrai qu'ils ont répondu sans réfléchir …
a+
Fibonacci

[Avec $\LaTeX$ c'est plus lisible. AD]



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par AD.
Re: Nombre irationnel ?
il y a six semaines
Euh ce qui est demandé c'est bien l'irrationalité de $(\sqrt{6}+4\sqrt{2})-\sqrt{2}$ ? Bref de $\sqrt{6}+3\sqrt{2}$ ?
Si c'est bien le cas, supposer que $\sqrt{6}+3\sqrt{2}=r \in \mathbb Q$, et aboutir à une contradiction.
Bonne nuit.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par Chaurien.
Re: Nombre irationnel ?
il y a six semaines
La théorie de Galois rend ces choses particulièrement simples, pour tout entier $u,v $ il existe un automorphisme de $\C$ qui envoie $\sqrt{2}$ vers $(-1)^u \sqrt{2}$ et $\sqrt{3}$ vers $(-1)^v\sqrt{3}$ donc qui envoie $\sqrt{2}\sqrt{3}+4\sqrt{2}-\sqrt{2}$ vers $(-1)^{u+v}\sqrt{2}\sqrt{3}+(-1)^u4\sqrt{2}-(-1)^u\sqrt{2}$

En prenant $u=0$ et $v=1$ on a un automorphisme qui envoie $\sqrt{2}\sqrt{3}+4\sqrt{2}-\sqrt{2}$ vers un complexe différent ce qui ne serait pas le cas s'il était rationnel.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par reuns.
Re: Nombre irationnel ?
il y a six semaines
avatar
S'agit-il de $\sqrt{(2+\sqrt2)^2} -\sqrt 2$ ?
Re: Nombre irationnel ?
il y a six semaines
Il y a en effet un gros problème de parenthésage dans le message initial : " (sqrt6+4sqrt2))-sqrt2 "; deux parenthèses fermantes pour une seule ouvrante.

Cordialement.
Re: Nombre irationnel ?
il y a six semaines
Je m'excuse,
le nombre est:
(6+4sqrt)^(1/2)-sqrt2.. ou bien:

sqrt(6+4sqrt(2))-sqrt2

a+

Fibonacci
Re: Nombre irationnel ?
il y a six semaines
Tu devrais apprendre à écrire les formules en LaTeX, tu aurais vu le problème immédiatement. Et te relire : "(6+4sqrt)^(1/2)-sqrt2" n'a pas de sens.

$(6+4\sqrt 2)^{\frac 1 2}-\sqrt 2$ ou $\sqrt{6+4\sqrt{2}}-\sqrt2$ (utilise "citer" pour voir le message et son écriture LaTeX).

Cordialement.
Re: Nombre irationnel ?
il y a six semaines
Et donc Fibonacci en utilisant l'automorphisme qui envoie $\sqrt{2}$ vers $-\sqrt{2}$ c'est un rationnel ou pas ?
JLT
Re: Nombre irrationnel ?
il y a six semaines
avatar
On peut remarquer que $6+4\sqrt{2}=2(1+\sqrt{2})^2$.
Re: Nombre irationnel ?
il y a six semaines
JLT,

Voir le message de Cidrolin.

Cordialement.
Re: Nombre irationnel ?
il y a six semaines
Merci pour le conseil, je vais essayer de le suivre .. Ce forum est fantastique avec tant de gens si préparés et gentils ..
a+
Re: Nombre irrationnel ?
il y a six semaines
$\sqrt{6+4\sqrt{2}}-\sqrt{2}$
J'avais essayé Latex il y a quelques années, mais j'avais abandonné parce que j'avais trop de problèmes. Suite à vos conseils, j’ai écrit la formule avec Latex: super !!!
Merci bien.
a+
Fibonacci.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par AD.
Re: Nombre irrationnel ?
il y a six semaines
Voici un autre numéro qui peut tromper ... Ce n'est pas un nombre irrationnel !!! $$

\sqrt{6}-\sqrt{7-2\sqrt{6}}

$$ a+
Fibonacci.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par AD.
Re: Nombre irrationnel ?
il y a six semaines
Oui, ça fait 1.
Re: Nombre irrationnel ?
il y a six semaines
AD a corrigé le 1er message, mais il l'a mal corrigé... la discussion va devenir illisible.
La bonne formule est : $\sqrt{6+4\sqrt{2}}-\sqrt{2}$

[Je n'ai pas corrigé, j'ai latexifié. La formule est telle qu'à l'origine. AD]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par AD.
Re: Nombre irrationnel ?
il y a six semaines
Fibonacci,

il y a plein d'expressions de ce genre, qu'on peut construire facilement à partir d'expressions développées de $(a+\sqrt b)^2$ et/ou $(a-\sqrt b)^2$.
Par exemple, avec $(5+\sqrt 5)^2 = 30+10\sqrt 5$ et $(5-\sqrt 5)^2 = 30-10\sqrt 5$ :\sqrt
$\sqrt{30+10\sqrt 5}+\sqrt{30-10\sqrt 5}$ est un entier.

Attention cependant avec $(a-\sqrt b)^2$ lorsque $a<\sqrt b$.

Cordialement.

NB : Ces expressions ont été très étudiées par les concepteurs de logiciels formels, l'absence d'une écriture conventionnelle unique pour les expressions algébriques avec des racines carrées restant un problème irrésolu.
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