Problème rationnel

soland · October 2019

Un sous-groupe $H$ de $(\mathbb{Q},+)$ est engendré par $\{m_1,m_2, ... m_{11}\}$
Un sous-groupe $K$ de $(\mathbb{Q},+)$ est engendré par $\{n_1,n_2, ... n_{22}\}$
Les 33 fractions données sont toutes différentes.
Sous quelle(s) condition(s) $H$ et $K$ sont-ils isomorphes ?

Tonm · October 2019

Salut, excusez-moi si je n'ai pas l'idée, (mais le minimum des fractions des deux s.g. ne sera jamais dans l'autre.(n'importe quoi))

reuns · October 2019

Un sous-groupe finiment généré de $\Q$ est cyclique, c'est une conséquence directe de $\sum_{j=1}^n a_j \Z = \gcd(a_1,\ldots,a_n) \Z$ (pour des entiers $a_j$)

soland · October 2019

Ce qui m'a plu dans la preuve que je connais est un lemme glouton
qui bâfre 90% de la démonstration; il émet maintenant des petits rots satisfaits.

Si un sous-groupe $H$ de $\mathbb{Q}$ est engendrable par $n>1$ fractions
il l'est aussi par $(n-1)$ fractions (pas forcément les mêmes).

Autrement dit, dans un tel système de générateurs, personne n'est indispensable...
sauf le dernier. Ou, comme disent vos voisins germanophones,
Den letzten beißen die Hunde.

Problème rationnel

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