Équation diophantienne

Salut, je n'ai pas tout compris pour cette histoire de possibilités en Italie, mais je compatis. Il se trouve que je suis aussi peu instruit en arithmétique et n'ai pas d'idée précise de ce qu'est une équation diophantienne (ça a l'air d'être ce genre de truc) et pas la moindre de ce que peut bien être cette méthode d'Euler (bon ok, j'avoue, je suis carrément une grosse quiche). Je ne crois pas que ta méthode soit particulièrement original, parce qu'en essayant l'exercice avec la première chose qui m'est venu en tête, je suis tombé sur les mêmes constantes que toi
Voilà comment je fais l'exercice:

1) Comme 100 est évidemment premier avec 243 et 71, je vérifie que 243 et 71 sont premier entre eux (parce que sinon c'est plutôt mal barré pour que $100 \in 243\mathbb{Z}+ 71 \mathbb{Z}$). Du coup, je vérifie ça par méthode des divisions euclidiennes successives (même si 71 est premier), et j'en profite au passage pour extraire des nombres $u,v$ tel que $243u+71v=1$, parce que ça m'arrange bien.
2) En cours de route, j'ai constaté que $19\times 243 - 65\times 71=2$, qui est un diviseur de 100. Je sais donc que $(x,y)=(950,-3250)$ est solution. En allant jusqu'au bout je trouve $-26\times 243+89\times 71=1$, ce qui me laisse penser qu'on a utilisé des méthodes comparables.
3) Je constate que si j'ai deux deux couples solutions $(x_1,y_1)$ et $(x_2,y_2)$ de l'équation alors $(x_1-x_2, y_1-y_2)$ est solution de $243x+71y=0$. Par bonheur, il se trouve que je connais aussi le lemme de Gauss (parce que je suis une quiche, mais il ne faut pas abuser), vu que les deux autres, ils sont premiers entre eux, j'en déduis habilement que 71 divise x. Du coup, je sais que les solutions sont les couples $(x,y)=(950+71n , -3250+243n)$ avec $n\in \mathbb{Z}$.
Quitte à faire, pour ne pas garder des nombres trop grands, je retente une petite division euclidienne, ce qui me donne (27,-91) plutôt que (950,-3250).

C'était ça?

Fibonacci a écrit:

Puis-je savoir si la méthode Euler est utilisée pour plus de variables?

Pardonne mon ignorance mais qu'appelles-tu "méthode d'Euler"?

S'il s'agit de trouver une solution particulière $(x_0,y_0,z_0)$.

On commence par trouver une solution particulière de l'équation $3x+u=100$.
Solution qu'on peut obtenir, par exemple, avec l'algorithme dit d'Euclide étendu.

Ce qui donne une solution $(x_0,u_0)$.
Puis, si c'est possible, on cherche à résoudre l'équation: $4y + 5z=u_0$

Une méthode sûre : échelonner suivant les colonnes (sur les entiers, bien évidemment) !
J'échelonne suivant les colonnes la matrice ligne $\pmatrix{3&4&5}$ de notre système réduit à une seule équation. On soustrait la première colonne des deux autres : $\pmatrix{3&1&2}$. On permute circulairement les colonnes : $\pmatrix{1&2&3}$. On soustrait 2 fois la premiére colonne de la deuxième et 3 fois la première colonne de la troisième : $\pmatrix{1&0&0}$. En résumé :
$$\pmatrix{3&4&5}\,U=\pmatrix{1&0&0}\quad\text{avec }U=\pmatrix{-1&1&4\\ 1&-2&-3\\ 0&1&0}\;.$$
Résoudre l'équation $\pmatrix{1&0&0}\pmatrix{x\\y\\z}=100$ est facile : les solutions sont $\pmatrix{100\\a\\b}$ avec $a$ et $b$ quelconques. D'où les solutions de l'équation de départ :
$$U \pmatrix{100\\a\\b}= \pmatrix{-100+a+4b\\100-2a-3b\\a}\;.$$

Goleon:

Il y a une infinité de solutions. Une solution sans nombre négatif: $(5, 10, 9)$

Goleon:

Il m'a semblé que tu donnais une solution de l'équation diophantienne donnée par Fibonacci dans ce fil.

$3\times 340+4\times 0+5\times-184=100$ .

Mon impression était correcte. B-)-

Je te faisais juste remarquer que cette équation avait une infinité de triplets solutions.
Donc il est vain d'essayer de lister toutes les solutions une par une. :-D

Un bon algorithme de résolution.
Plus de questions et, surtout, pas de substitutions ou autres manœuvres.
Que du pivotage.

Un algorithme s'occupe aussi de la mise en page des calculs.

Nous sommes d'accord.