Divisibilité par 19
dans Arithmétique
Divisibilité par 19
Bonjour, voici un petit exercice sur la divisibilité: déterminer k pour que 23k + 24 soit divisible par 19, résultat k = - (19n + 120), j'aimerais avoir une idée de la procédure que vous utiliseriez et savoir si cet exercice est au lycée être considéré comme difficile. Merci
a+
Fibonacci
Bonjour, voici un petit exercice sur la divisibilité: déterminer k pour que 23k + 24 soit divisible par 19, résultat k = - (19n + 120), j'aimerais avoir une idée de la procédure que vous utiliseriez et savoir si cet exercice est au lycée être considéré comme difficile. Merci
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Fibonacci
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Réponses
Modulo $19$, on a $23k+24=0$, donc $4k+5=0$.
Il n'y a plus qu'à faire une table des $4k+5$ pour $k\in\{0...18\}$, et voir lequel est divisible par $19$.
Cordialement,
Rescassol
Ça dépend par quel bout tu le prends.
Recassol te propose de chercher la racine dans $\mathbb{F}_{19}$ (ça se ramène à $4X+5$, on sait que $4\times 5=20=1$, la solution est donc $5\times -5=13$), mais je ne suis pas sûr que ce soit adapté au lycée (sauf pour de très bon élève de terminal).
En revanche, la dernière fois, tu parlais d'équation diophantienne. $23k+24$ est divisible par $19$ revient à dire qu'il existe un entier $n$ tel que $23k+24=19n$ soit résoudre une équation du type $19n-23k=24$ dans $\mathbb{Z}^2$. Je crois savoir que tu sais faire ce genre de chose.
Je ne suis pas spécialiste, mais je pense que même ainsi, ce serait difficile au lycée sans plus d'indication.
a+
Fibonacci