Vice-versa

Boole et Bill · October 2019

Bonjour à tous
Aujourd’hui, petite énigme.

Je note $abcd$ le nombre dont le chiffre des unités est $d$, celui des dizaines $c$ et ainsi de suite. Ce nombre vérifie $abcd\times d=dcba$, avec les mêmes notations. Sachant que $a,b,c,d$ sont deux à deux distincts, quel est ce nombre ?

GaBuZoMeu · October 2019

$1089$

Boole et Bill · October 2019

Bravo!

P. · October 2019

1bb1

GaBuZoMeu · October 2019

Perdu, P. : il est spécifié que a, b, c, d sont deux à deux distincts.

Cidrolin · October 2019

En base cinq on a :$1034 \times 4=4301$.

On doit pouvoir généraliser aux bases de la forme $a^2+1$.

Math Coss · October 2019

sage: def base(b=10):
....:     res = []
....:     for n in range(1,b^4+1):
....:         l = (ZZ(n).digits(b)+4*[0])[:4]
....:         l.reverse()
....:         if n==add(l[k]*10^k for k in range(4))*l[0] and len(set(l))==4:
....:             res.append(n)
....:     return res
....: 
sage: for b in range(2,17):
....:     print "Base %s : %s" % (b,base(b))
....:     
Base 2 : []
Base 3 : []
Base 4 : [(225, [1, 0, 2, 3])]
Base 5 : [(576, [1, 0, 3, 4])]
Base 6 : [(1225, [1, 0, 4, 5])]
Base 7 : [(2304, [1, 0, 5, 6])]
Base 8 : [(3969, [1, 0, 6, 7])]
Base 9 : [(6400, [1, 0, 7, 8])]
Base 10 : [(9801, [1, 0, 8, 9])]
Base 11 : [(14400, [1, 0, 9, 10])]
Base 12 : [(20449, [1, 0, 10, 11])]
Base 13 : [(28224, [1, 0, 11, 12])]
Base 14 : [(38025, [1, 0, 12, 13])]
Base 15 : [(37576, [1, 0, 2, 11]), (50176, [1, 0, 13, 14])]
Base 16 : [(65025, [1, 0, 14, 15])]

Visiblement, le nombre $[1,0,b-2,b-1]_b$ fonctionne en toute base – vérification : $$\bigl(b^3+(b-2)b+b-1\bigr)(b-1)=b^4-2b^2+1=(b-1)b^3+(b-2)b^2+1$$ – et c'est souvent le seul.

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