Nombre de diviseurs

Cela revient à montrer que, pour tous nombres premiers $p_1, \dotsc, p_n \geqslant 3$ deux à deux distincts, on a $p_1 \dotsb p_n + 1 \geqslant 4^n$. Or, par hypothèse, le membre de gauche est lui-même $\geqslant 3 \times 5^{n-1} + 1$ et il est facile de vérifier que ce nombre est $\geqslant 4^n$ dès que $n \geqslant 2$. La vérification du cas $n=1$ est facile.

Question 1 : $2^p$ a combien de diviseurs ?
Question 2 : $4^n = 2^{2n} $, vrai ou faux ?

Quels sont les plus petits entiers premiers . Un produit de premiers distincts peut facilement être minoré en prenant les même nombre des premiers premiers : 11*13*23>2*3*5.
D'où :
* initialisation à 3
* récurrence évidente.

Cordialement.

Heu ... je répondais à la question de ce message qu'il a complétée par celui-ci.
Mais effectivement, j'ai peut-être mal contextualisé.

Cordialement.

@Gérard : c'est manifestement "l'hérédité" qu'il avait du mal à faire.

@Nico83120 : si tu ne vois pas bien, pose $x = 4^n$. La dernière inégalité n'est alors rien d'autre que $5x-4\geqslant 4x$, facilement vérifiable dès que $x \geqslant 4$. C'est bon ?

@ Noix de Totos. Pas besoin d'une calculette pour compter le nombre de diviseurs unitaires, je crois ...

Au tout début du message, à cause de la contrainte p > 3, je pensais que la question concernait :

2 ^ (p1 * p2...* pn) + 1

Ce qui est tout de même un peu plus difficile. Bien sûr le 4^n est trop fort, surtout si on prend les nombres premiers dans l'ordre (5, 7 , 11, ...). En revanche, Peut-on s'assurer d'un nombre mini de diviseurs ? Et y a-t-il la possibilité d'atteindre ou de dépasser 4^n diviseurs en choisissant judicieusement les nombres premiers ?