Nombre de diviseurs
dans Arithmétique
Bonjour à tous
J'ai besoin de votre aide pour cet exercice.
Soient p1, p2, ..., pn des nombres premiers distincts strictement supérieurs à 3.
Montrer que 2^(p1*p2*...*pn) admet au moins 4^n diviseurs.
J'ai besoin de votre aide pour cet exercice.
Soient p1, p2, ..., pn des nombres premiers distincts strictement supérieurs à 3.
Montrer que 2^(p1*p2*...*pn) admet au moins 4^n diviseurs.
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Réponses
juste je n'ai pas compris pourquoi cela revient à montrer que p1*...pn >= 4^n
Question 2 : $4^n = 2^{2n} $, vrai ou faux ?
Suppose l'assertion vraie pour un certain entier $n \geqslant 2$. Alors, en utilisant l'hypothèse de récurrence
$$3 \times 5^n + 1 = 5 \times \left( 3 \times 5^{n-1} \right) + 1 \geqslant 5 \left( 4^n - 1 \right) + 1 = 5 \times 4^n - 4 \geqslant 4^{n+1}$$
où l'on a utilisé à la fin le fait que $n \geqslant 2$ entraîne que $4^n > 4$.
D'où :
* initialisation à 3
* récurrence évidente.
Cordialement.
Mais effectivement, j'ai peut-être mal contextualisé.
Cordialement.
@Nico83120 : si tu ne vois pas bien, pose $x = 4^n$. La dernière inégalité n'est alors rien d'autre que $5x-4\geqslant 4x$, facilement vérifiable dès que $x \geqslant 4$. C'est bon ?
Je suis sur que vous trouverez de quoi vous amuser, avec de magnifiques énigmes qui vous attendent et une communauté d'Etudiants et passionnés de Mathématiques
montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, le nombre de diviseurs unitaires de $2^{p_1 \times \dotsb \times p_n}$ est constant.
On rappelle qu'un diviseur $d$ de $n$ est dit unitaire si, et seulement si, $\textrm{pgcd}(d,n/d) = 1$.
Au tout début du message, à cause de la contrainte p > 3, je pensais que la question concernait :
2 ^ (p1 * p2...* pn) + 1
Ce qui est tout de même un peu plus difficile. Bien sûr le 4^n est trop fort, surtout si on prend les nombres premiers dans l'ordre (5, 7 , 11, ...). En revanche, Peut-on s'assurer d'un nombre mini de diviseurs ? Et y a-t-il la possibilité d'atteindre ou de dépasser 4^n diviseurs en choisissant judicieusement les nombres premiers ?