Théorème de 4 carrés de Lagrange

Bonjour.
Comme beaucoup de théorèmes de théorie des nombres, et même comme la théorie des nombres si j’ose dire, ce théorème constitue une fin en soi. Pour sa beauté par exemple, pour l’intérêt qu’il a suscité. Finalement, pourquoi les mathématiques pures? Pour la même raison. Ce n’est que mon opinion.

J'ai un "love/hate relationship" avec la théorie des nombres : d'un côté, les résultats de la théorie des nombres me paraissent franchement inutiles "dans le monde réel", mais quand on voit toutes les belles maths qu'on a eues grâce à la théorie des nombres... il faut la remercier quand même. Il y a des théories qui ont été inventées pour les besoins de la théorie des nombres pour commencer, et qui ont ensuite branché dans plein d'autres directions intéressantes pour d'autres besoins.

Bonjour,
le théorème des quatre carrés de Lagrange est en faite une partie d'un théorème beaucoup plus vaste, connu sous le nom de problème de Waring. La théorème consiste à déterminer si, pour chaque entier naturel $k$, il existe un nombre $s$ tel que tout entier positif soit somme de $s$ puissances k-ièmes d'entiers positifs.
Par exemple chaque entiers positifs peut s'écrire comme 4 nombre carrés (Lagrange), comme somme de 9 cubes (Weifrich), 19 puissances quatrième (Balasubramanian je crois). etc Hilbert à établi en 1909 qu'il existait toujours une valeur. La détermination, pour chaque exposant $k$, du plus petit $s$ vérifiant cette propriété est noté $g(k)$. Mais pour autant on a pas de formule explicite pour calculer.

Mais le théorème de Lagrange est aussi un cas particulier d'un autre théorème (de Fermat Cauchy), qui s'énonce comme suit :
Tout entier naturel est la somme d'au plus $k$ nombres $k$-gonaux ;
cela signifie que chaque entier naturel s'écrit comme la somme de 3 nombres triangulaire(Gauss), 4 nombres carrés(Lagrange), 5 pentagonaux, etc. problème intégralement prouvé par Cauchy en 1813 puis simplifié par Nathanson en 1987.