Histoire de pgcd

Boole et Bill
Boole et Bill
dans Arithmétique
Bonjour à tous.
Je cherche une à prouver que si $a,b,c$ sont des entiers non nuls avec $b$ et $c$ premiers entre eux, alors \[ \mathrm{pgcd}(a,bc)=\mathrm{pgcd}(a,b)\mathrm{pgcd}(a,c).\] Si on utilise la décomposition en facteurs premiers le résultat tombe tout de suite. Si on veut s’en passer, je bloque. Je peux conclure si je montre que tout diviseur de $bc$ est exactement le produit d’un diviseur de $b$ et d’un diviseur de $c$. Merci pour votre aide, à bientôt.

Réponses

  • Amathoué
    Amathoué
    Bézout...
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Si $\text{pgcd}(a,bc)=1$ la démonstration est aisée.

    D'après le théorème de Bézout il existe $\alpha,\beta$ entiers tels que $\alpha\times a+\beta\times bc=1$

    Et on en déduit toujours avec le même théorème que $\text{pgcd}(a,b)=\text{pgcd}(a,c)=1$
  • Goleon
    Goleon
    Salut,

    J'ai trouvé une petite identité remarquable :
    $$
    (au + bv - \delta_{ab}) \times (-c v') + (au' + cv' -\delta_{ac}) \times (-\delta_{ab}) + (a) \times (cuv' + u'\delta_{ab}) + bc \times v v' = \delta_{ab} \times \delta_{ac}
    $$

    J'espère ne pas avoir mal copier/coller et qu'elle participe à ton identité, si c'est du charabia laisse tomber :-D
  • Fin de partie
    Fin de partie
    On a:

    \begin{align}a&=\mu \times \text{pgcd}(a,b)\\
    b&=\lambda\times \text{pgcd}(a,b)\\
    a&=\alpha\times \text{pgcd}(a,c)\\
    c&=\beta\times \text{pgcd}(a,c)\\
    bc&=\lambda\times \beta \times \text{pgcd}(a,b)\times\text{pgcd}(a,c)
    \end{align}

    avec $\alpha,\beta,\mu,\lambda$ des entiers.

    Donc $\text{pgcd}(a,b)$ et $\text{pgcd}(a,c)$ divisent $\text{pgcd}(a,bc)$ mais ils sont premiers entre eux (application du théorème de Bézout) donc leur produit divise $\text{pgcd}(a,bc)$

    Il ne reste plus qu'à démontrer la réciproque, que $\text{pgcd}(a,bc)$ divise $\text{pgcd}(a,b)\text{pgcd}(a,c)$ B-)
    (la difficulté, à mon humble avis, est que le premier nombre peut ne diviser aucun des deux facteurs du deuxième nombre)
  • nodgim
    nodgim
    Si B ^ C = 0 alors : A ^ ( B U C ) = (A ^ B) U ( A ^ C )
  • LOU16
    LOU16
    Bonjour,
    Ce qui suit remplit le cahier des charges fixé par Boole et Bill, mais n'a rien de miraculeux car les arguments font usage du "théorème de Gauss" et du fait que tout entier autre que $1$ est divisible par un nombre premier, deux ingrédients qui forcent l'existence et l'unicité de la décomposition en facteurs premiers..

    $d= a \wedge bc,\:\: b_1 = a \wedge b, \:\: c_1 = a \wedge c.$
    FDP vient de justifier que $d=k b_1c_1 \:\:\: k \in \N.$
    Supposons $ k\neq 1.\:\:$ Alors $k$ admet un diviseur premier $p$ et qui est premier avec l'un des nombres $b$ ou $c$, disons $b$.
    Alors $p \wedge b = c_1 \wedge b = 1 \implies \left(\:pc_1 \wedge b = 1. \:\:(1)\: \right)\quad$ D'autre part, $\:pc_1$ divise $d$ donc : $ \quad\quad pc_1 \:\text{divise}\:bc . \:\: (2)$
    $(1)$ et $(2)$ entrainent alors : $\:\: pc_1 \: \text{divise} \:c.\:\:\:$ Mais $pc_1$, divisant $d$, est aussi un diviseur de $a$.
    Ainsi $pc_1 \:\text{divise}\: a$ et $c\:\:$ donc $\:\:pc_1\:\text{divise}\: a \wedge c = c_1.\:\:$ C'est impossible. On a donc $k=1\:$ et $\:\: \boxed{d =b_1c_1.}$
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Nodgim a bien raison !
    Un résultat un peu plus général est que l'ensemble des entiers naturels avec la relation d'ordre "divise" est treillis distributif (où $1$ est le plus petit élément, et $0$ le plus grand) :
    Pour tous $a,b,c$ on a $a\wedge(b\vee c)=(a\wedge b)\vee(a\wedge c)$, où $\wedge$ est le pgcd et $\vee$ le ppcm.
    C'est vrai que le plus simple pour démontrer cette distributivité est de passer par les valuations $p$-adiques. Mais on peut aussi utiliser la caractérisation suivante des treillis distributifs :
    Pour tous $x,y,z$, si $x\vee z=y\vee z$ et $x\wedge z=y\wedge z$ alors $x=y$.
    L'implication est triviale si $z=0$ puisqu'alors $x\wedge z=x$ et $y\wedge z=y$. Si $z\neq 0$ alors $d=x\wedge z=y\wedge z\neq 0$, $xz/d=x\vee z= y\vee z=yz/d$ et donc $x=y$.
  • Boole et Bill
    Boole et Bill
    Salut tout le monde, désolé pour la réponse tardive. Je vous remercie. Je reviens plus tard malheureusement... A plus!
  • GG
    GG
    Soit par les valuations : min(B,C) = 0 => min(A,B+C) = min(A,B) + min(A,C),
    soit (a,bc) = ($\alpha$(a,b),$\beta$(a,b)c) = (a,b)($\alpha$,$\beta$c) avec ($\alpha,\beta$) = 1.
    ($\alpha$,$\beta$c) et (a,c) ont les mêmes diviseurs : si d divise $\alpha$ et $\beta$c, d divise a, est premier avec $\beta$, et divise c.
    Si d divise a et c, d divise $\beta$c, est premier avec (a,b), et divise $\alpha$.
    Ainsi ($\alpha$,$\beta$c) = (a,c) et (a,bc) = (a,b)(a,c).
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