Diviseur de $\varphi(a^n-1)$

Plus généralement, si $a > b \geqslant 1$ et $n \geqslant 1$ sont entiers, alors $n \mid \varphi \left( a^n - b^n \right)$.

Suppose d'abord que $(a,b)=1$. Alors évidemment $(b,a^n-b^n)=1$ et donc $b$ a un inverse $\overline{b}$ modulo $a^n-b^n$. Tu fais alors comme Poirot l'indique, i.e. tu vérifies que $n$ est l'ordre de $a \overline{b}$ modulo $a^n-b^n$.

Le cas $(a,b)> 1$ se ramène au cas précédent via la formule connue
$$\varphi(mn) = \varphi(m) \varphi(n) \frac{d}{\varphi(d)}$$
valide pour tous entiers positifs $m,n$, où $d := (m,n)$. Je peux détailler si tu le demandes.