Raisonnement par l'absurde

Salut,

$$
5 \times (2n+3) = 7n+14+(3n+1)
$$

De:

$2(3n+1)=3(2n+3)-7$ on déduit que $2(3n+1)$ est divisible par $7$ puisque $2n+3$ l'est.

Mais on a aussi:
$2(3n+1)-7n=2-n$

On en déduit que $n$ a pour reste $2$ dans la division euclidienne par $7$.
C'est à dire qu'il existe $k$ entier tel que: $n=2+7k$
Donc: $3n+1=3(2+7k)+1=7(k+1)$ QED.

NB:
Pour déduire de $2(3n+1)$ est divisible par $7$ que $3n+1$ l'est aussi directement il faudrait le lemme de Gauss ou un théorème plus fort qu'on s'interdit d'utiliser si j'ai bien compris.

PS:
Pourquoi $n$ a nécessairement pour reste $2$ dans la division euclidienne par $7$ si on suppose $2n+3$ divisible par $3$?
Parce que $n=2+7n-2(3n+1)$ et que $7n-2(3n+1)$ est clairement donc un multiple de $7$.

@lourran,

Si c’est de niveau Terminale et que l’on suggère aux élèves un raisonnement par l’absurde, il suffit de montrer que la congruence :
$2r =0[7]$ où $r$ est le reste de la division euclidienne de $3n+1$ par $7$ n’a pas de solution(tableau de congruences). Je veux dire qu’ils n’ont pas besoin de connaître explicitement la propriété que tu énonces. Mais c’est l’occasion de la leur faire découvrir...

Bonjour,

Soit $n$ un entier.

Si $2n+3$ est un multiple de $7$, alors il existe un entier $q$ tel que $2n+3=7q.$
On a nécessairement $q$ impair car sinon $7q-2n=3$ serait pair.
On calcule $3n+1 = 3 {7q - 3 \over 2}+ 1=7 {3q-1 \over 2}$ : c'est bien un multiple de $7.$