Trouver le dernier chiffre : mise en page
dans Arithmétique
Bonjour
J'ai un exercice où il faut trouver le dernier chiffre en écriture décimale de l'entier $x^{y^{z}}$. Je le trouve assez facilement, mais je ne sais pas comment faut-il l’écrire sur la copie, quels mots et phrases faut-il utiliser. Bref, j'ai besoin de savoir comment mettre tout cela au format bien mathématique avec tous les raisonnements logiques.
Par exemple on cherche le dernier chiffre du nombre $13^{1034^{1037}}$.
Je fais de cette façon.
Pourriez-vous me dire quelles phrases faut-il reformuler et comment ? Merci à l'avance !
J'ai un exercice où il faut trouver le dernier chiffre en écriture décimale de l'entier $x^{y^{z}}$. Je le trouve assez facilement, mais je ne sais pas comment faut-il l’écrire sur la copie, quels mots et phrases faut-il utiliser. Bref, j'ai besoin de savoir comment mettre tout cela au format bien mathématique avec tous les raisonnements logiques.
Par exemple on cherche le dernier chiffre du nombre $13^{1034^{1037}}$.
Je fais de cette façon.
Comme je n'ai pas d'exemple corrigé, il doit avoir de grosses maladresses...Les premières puissances de $13$ sont :
$13^1 = 13$
$13^2 = 169$
$13^3 = 2197$
$13^4 = 28561$
$13^5 = 371293$
Le nombre $13^n$ avec $n \in \mathbb{N}^{\ast}$ se termine toujours par l'unité $u$ qui parcourt $[3;9;7;1]$.
Comme $1034 \equiv 2 \pmod 4$, alors le dernier chiffre du $13^{1034}=\dots 9$ vaut $9$.
Je cherche maintenant le dernier chiffre du $\dots 9^{1037}$. Comme précédemment, l'unité des premières puissances est :
$\dots 9^1 = \dots 9$
$\dots 9^2 = \dots 1$
$\dots 9^3 = \dots 9$
Le nombre $\dots 9^{n}$ avec $n \in \mathbb{N}^{\ast}$ se termine toujours par l'unité $u$ qui parcourt $[9;1]$.
Comme $1037 \equiv 1 \pmod 2$, alors le dernier chiffre du $13^{1034^{1037}}$ est $9$.
Pourriez-vous me dire quelles phrases faut-il reformuler et comment ? Merci à l'avance !
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Pour pouvoir généraliser le cycle [3,9,7,1] il faut dire : si n est de la forme $n= 10k+3$ alors il existe i tel que $n^2= 10*i+9$ etc etc ... Et là, on démontre bien qu'il y a un cycle.
C'est mieux ?
C’est juste pour les élèves qui liront le sujet...
J'ai le même type d'exercice à résoudre mais je ne comprends pas le choix des congruences dans cet exemple. Pourriez-vous me l'expliquer svp?
Merci!
Soit $A = 13^{1034^{1037}} = 13^{(1034^{1037})}$.
Calculons $A$ modulo 10.
On a $3^4 = 81 = 1 \pmod {10}$, donc aussi $13^4 = 1 \pmod {10}$.
Ainsi, $13^n = 13^{n \pmod 4} \pmod {10}$.
Or l'exposant $n = 1034^{1037} = 2 \pmod 4$. (--edit : je m'étais trompé : $1034 = 2 \pmod 4$, donc à une puissance impaire aussi)
Donc $A = 3^2 \pmod {10} = 9 \pmod {10}$.
Au départ, on considérait que la 1ère interprétation était la bonne. Personnellement, je reste sur cette interprétation. Lecture de gauche à droite.
Mais si en l'absence de parenthèses, il faut d'abord calculer $b^c$, puis $a^{(b^c)}$ ... ok, pourquoi pas.
Si on développe $(10+x)^k$, (binôme de Newton, triangle de Pascal ...), on a une somme un peu longue ; tous les termes de cette somme sont des multiples de 10, sauf un des termes : $(10x+y)^k = y^k +$ un certain multiple de 10 ... et toute la suite vient de ce constat.
Vu que 1034 est pair, 1034^1037 est multiple de 4 non? Et du coup, 13^(1034^1037) se termine plutôt par 1