Informatique contre mathématiques

Bonjour,

$(x+1)(x-1) \equiv0 \pmod {3 \times 673}$

Cordialement,

Rescassol

Edit: Une typo corrigée

Bonjour,

Il ne reste plus qu'à décomposer en plusieurs cas:
$x \equiv 1 \pmod {2019}$
ou
$x \equiv -1 \pmod {2019}$
ou
$x \equiv 1 \pmod {3}$ et $x \equiv -1 \pmod {673}$
ou
$x \equiv -1 \pmod {3}$ et $x \equiv 1 \pmod {673}$

Je ne vais quand même pas tout faire :-D

Cordialement,

Rescassol

Salut Sneg,

J'essayes d'expliquer ! Soit $a_1,a_2,a_3$ trois entiers, je note $a = a_1 \times a_2 \times a_3$. On dispose d'un morphisme d'anneaux :
$$\pi : \frac{\Z}{ a \Z} \longrightarrow \frac{\Z}{ a_1 \Z} \times \frac{\Z}{ a_2 \Z} \times \frac{\Z}{ a_3 \Z} $$

Si on suppose que les entiers $a_1,a_2,a_3$ sont premiers entre eux (deux à deux !!!) , alors $\pi$ est un isomorphisme.

Donc les solutions de ton équation $x^2 =1 \pmod{4 \times 5 \times 101}$ sont reliées au solution modulo $4$, $5$ et $101$. Mais ce que tu voudrais c'est à partir de la résolution modulo $4$, $5$ et $101$ c'est reconstruire les solutions modulo $2020$.

Et le théorème ne sert à rien, c'est sa démonstration qui sert i.e la démonstration qui explicite l'isomorphisme réciproque !

Comment ça fonctionne :

On pose, pour $i \in \{1,2,3\}$ : $\widehat{a}_i := \frac{a}{a_i}$. Les $\widehat{a}_i$ sont premiers entre eux dans leurs ensembles et donc il existe une identité de Bézout :
$$
\widehat{a}_1 u_1+ \widehat{a}_2 u_2+ \widehat{a}_3 u_3 = 1
$$
On pose alors $$(x_1,x_2,x_3)\mapsto \widehat{a}_1 u_1 x_1+ \widehat{a}_2 u_2 x_2+ \widehat{a}_3 u_3 x_3 $$
Et on obtient l'isomorphisme réciproque de $\pi$ et donc la possibilité de résoudre vraiment l'équation et pas seulement dire les solutions reliées !

sage: a_1 = 4
sage: a_2 = 5
sage: a_3 =101
sage: a= a_1*a_2*a_3
sage: c_1 = a_2*a_3         ///  c_i c'est pour a_i chapeau 
sage: c_2 = a_1*a_3
sage: c_3 = a_2 *a_1

Là je fait un truc pour obtenir les $u_1,u_2,u_3$ … qu'importe pour l'instant !

sage: M = matrix(ZZ,1,3,[c_1,c_2,c_3])
sage: M.smith_form()
(
              [  1 -20  -4]
              [ -1  20   5]
[1 0 0], [1], [ -5 101   0]
)
sage: A,B,C= M.smith_form()
sage: C
[  1 -20  -4]
[ -1  20   5]
[ -5 101   0]

En regardant la première colonne, on obtient $(u_1,u_2,u_3) = (1,-1,-5)$, on pose :
$$
\psi : (x_1,x_2,x_3) \mapsto 505 x_1 -404 x_2-100x_3
$$

Par exemple $\psi(1,-1,-1) = 505+404+100 = 1009$.