Divisibilité des coefficients binomiaux

Lavandes · November 2019

Bonjour, comment montrer que tout nombre premier $P$ dans $]n+1,2n+1]$ divise
le coefficient binomial $\binom{2n+1}{n}$ ?

Voilà ce que j'ai fait.
$\binom{2n+1}{n}$=((2n+1)(2n)(2n-1)..(n+2))/(n !) comme P dans ]n+1,2n+1] alors $\binom{2n+1}{n}$=((2n+1)...(P+1)(P-1)..(n+2))/(n!)

ce qui donne: n!*$\binom{2n+1}{n}$=P((2n+1)...(P+1)(P-1)..(n+2))

donc P divise $\binom{2n+1}{n}$.C'est ca?

[Ce que tu as écrit est illisible. Regarde comment écrire en $\LaTeX$ :-) AD]
[La souris sur une expression > clic droit > Afficher sous forme > Commande Tex, pour voir le code $\LaTeX$ de l'expression. AD]

Dom · November 2019

Bonsoir,

C'est très difficile de lire tout cela.

Tu peux mettre des "$\$ $" autour des formules mathématiques pour que ce soit plus propre.
Le factoriel peut s'écrire avec la notation "!", mais ça tu le sais certainement.
Pour les coefficients binomiaux, j'imagine qu'un vecteur colonne convient.

Cordialement

Dom

Lavandes · November 2019

Excusez-moi, je ne sais pas comment faire un vecteur colonne !

Calli · November 2019

Bonjour,
On peut écrire "$\$ $\binom{2n+1}{n}$\$ $" pour les coefficients binomiaux. Et même sans faire de Latex, "n parmi 2n+1" est déjà plus clair que :
"(2n+1
n)".
Pour revenir aux maths, pourquoi ne pas avoir écrit $p$ entre $p+1$ et $p-1$ dans le dernier produit ? C'est quand même lui qui permet à $\binom{2n+1}{n}$ d'être divisible par $p$. Et d'ailleurs, il faut vérifier que le $n!$ ne "tue" pas cette divisibilité.

lourrran · November 2019

On a supposé $p$ premier, donc on est certain que le $n!$ ne tue pas cette divisibilité.

Calli · November 2019

Tout à fait @lourrran, il faut juste le préciser.
@Lavandes, ne modifie pas ton post après que quelqu'un y ait répondu s'il-te-plaît (hormis pour les coquilles et la mise en forme), car sinon les messages suivants perdent leur sens. Si tu veux modifier ta preuve, tu peux faire un nouveau post. :-)

Lavandes · November 2019

D'accord, je ne vais pas modifier le post, je n'ai pas fait attention merci.
"On a supposé p premier, donc on est certain que le n! ne tue pas cette divisibilité" pourriez-vous me l'expliquer ?

lourrran · November 2019

Si $p$ n'est pas premier , par exemple $p=39$ et $n=23$ On aura bien 39 au numérateur de notre fraction, mais au dénominateur, on a aura 3 et également 13 ; On a donc une expression du type $\frac{39*p}{3*13*q}$ , c'est à dire $\frac{p}{q}$ ; on n'a donc aucune certitude sur le fait que cette fraction soit multiple de 39.

Chaurien · November 2019

J'ai comme l'impression que la formule de LeGendre donne la réponse.
Voir : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1864378,1864542#msg-1864542

Lavandes · November 2019

merci

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