Divisibilité des coefficients binomiaux
dans Arithmétique
Bonjour, comment montrer que tout nombre premier $P$ dans $]n+1,2n+1]$ divise
le coefficient binomial $\binom{2n+1}{n}$ ?
Voilà ce que j'ai fait.
$\binom{2n+1}{n}$=((2n+1)(2n)(2n-1)..(n+2))/(n !) comme P dans ]n+1,2n+1] alors $\binom{2n+1}{n}$=((2n+1)...(P+1)(P-1)..(n+2))/(n!)
ce qui donne: n!*$\binom{2n+1}{n}$=P((2n+1)...(P+1)(P-1)..(n+2))
donc P divise $\binom{2n+1}{n}$.C'est ca?
[Ce que tu as écrit est illisible. Regarde comment écrire en $\LaTeX$ :-) AD]
[La souris sur une expression > clic droit > Afficher sous forme > Commande Tex, pour voir le code $\LaTeX$ de l'expression. AD]
le coefficient binomial $\binom{2n+1}{n}$ ?
Voilà ce que j'ai fait.
$\binom{2n+1}{n}$=((2n+1)(2n)(2n-1)..(n+2))/(n !) comme P dans ]n+1,2n+1] alors $\binom{2n+1}{n}$=((2n+1)...(P+1)(P-1)..(n+2))/(n!)
ce qui donne: n!*$\binom{2n+1}{n}$=P((2n+1)...(P+1)(P-1)..(n+2))
donc P divise $\binom{2n+1}{n}$.C'est ca?
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Réponses
C'est très difficile de lire tout cela.
Tu peux mettre des "$\$ $" autour des formules mathématiques pour que ce soit plus propre.
Le factoriel peut s'écrire avec la notation "!", mais ça tu le sais certainement.
Pour les coefficients binomiaux, j'imagine qu'un vecteur colonne convient.
Cordialement
Dom
On peut écrire "$\$ $\binom{2n+1}{n}$\$ $" pour les coefficients binomiaux. Et même sans faire de Latex, "n parmi 2n+1" est déjà plus clair que :
"(2n+1
n)".
Pour revenir aux maths, pourquoi ne pas avoir écrit $p$ entre $p+1$ et $p-1$ dans le dernier produit ? C'est quand même lui qui permet à $\binom{2n+1}{n}$ d'être divisible par $p$. Et d'ailleurs, il faut vérifier que le $n!$ ne "tue" pas cette divisibilité.
@Lavandes, ne modifie pas ton post après que quelqu'un y ait répondu s'il-te-plaît (hormis pour les coquilles et la mise en forme), car sinon les messages suivants perdent leur sens. Si tu veux modifier ta preuve, tu peux faire un nouveau post. :-)
"On a supposé p premier, donc on est certain que le n! ne tue pas cette divisibilité" pourriez-vous me l'expliquer ?
Voir : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1864378,1864542#msg-1864542