Chapitre divisibilité (TS)

Skabetix
Skabetix
dans Arithmétique
Bonjour,
je bloque sur cet exercice qui ne doit pourtant pas être bien difficile à résoudre.

Soit p un nombre premier et n un entier naturel.
Quelle est la somme des diviseurs positifs de p^n?
(^ signifie puissance)

Merci d'avance

Réponses

  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Je ne vois pas pourquoi tu bloques. Avec un exemple : p=3, n=7, quelle est la somme des diviseurs positifs de $3^7$ ? Question facile qui donne la clef de la question générale.

    Bon travail personnel !
  • Skabetix
    Skabetix
    Il y a juste ça dans l'énoncé, je comprends le principe mais il ne faut pas répondre sous forme de démonstrations ?
  • noix de totos
    noix de totos
    1. Si $p$ est premier et $n \in \mathbb{Z}_{\geqslant 1}$, quels sont les diviseurs (positifs) de $p^n$ ?

    2. Une fois répondu à ça (ce n'est pas trop compliqué), un mot-clé : somme de termes d'une suite géométrique.
  • Skabetix
    Skabetix
    Ah d'accord j'ai compris merci beaucoup!
  • Skabetix
    Skabetix
    Bonjour
    J'aimerais une confirmation de ma réponse pour être sur d'avoir bien compris.

    Démontrer que tout nombre premier supérieur à 2 est de la forme 4k ± 1.
    Ce que j'ai fait. Tout d'abord un nombre premier est forcément impair d'où l'ajout du ± 1
    Disjonction de cas, soit k € N alors :
    - Si ils s'écrivaient sous la forme k ± 1 => faux : contre-exemple : si k = 3 alors on obtient 2 ou 4 (divisible par 2)
    - Si ils s'écrivaient sous la forme 2k ± 1 => faux si k = 4 alors on obtient 7 ou 9 (or 9 est divisible par 3)
    - Si ils s'écrivaient sous la forme 3k ± 1 => faux si k = 3 on obtient 8 ou 10 (divisible par deux)
    - Tout les nombres sous la forme 4k ± 1 n'ons jamais un reste nul donc tout les nombres premiers s'écrivent sous cette forme.

    [Restons dans la discussion que tu as ouverte sur la divisibilité. AD]
  • Poirot
    Poirot
    Non, tu n'as pas compris. Tout nombre premier $p$ est de la forme $k+1$ pour un certain $k$ : c'est évident, il suffit de prendre $k=p-1$. Ce n'est pas parce qu'il existe un $k$ tel que $p$ n'est pas égal à $k+1$ que tu ne peux pas trouver un $k'$ tel que $p$ est égal $k'+1$...

    Ici il faut raisonner selon le reste de la division euclidienne de ton nombre premier $p$ par $4$. Quel peut être ce reste ? Étudie chaque cas et conclus.
  • lourrran
    lourrran
    Juste une petite vérification, avant de commencer ... , peux-tu écrire les 8 ou 10 premiers nombres qui sont de la forme 10k±1.

    J'ai comme l'impression que cette étape là va déjà poser des difficultés.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
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