Nombre d'éléments d'ordre 580 dans Z/1740Z
dans Arithmétique
Bonjour,
La question de base portant sur le nombre d'éléments ayant le même ordre que 21 dans (Z/1740Z, +) (celui-ci étant donc après un facile calcul 580), celle-ci revient, me semble-t-il, à résoudre PGCD(1740,x)=3 dans 0;1739. Seulement je sèche.. J'ai une vague intuition qu'il faille faire intervenir et résoudre une équation diophantienne, que je n'ai jamais vraiment étudiées.. Je recherche donc une bonne âme pour me fournir une solution détaillée. Vous en remerciant par avance.
La question de base portant sur le nombre d'éléments ayant le même ordre que 21 dans (Z/1740Z, +) (celui-ci étant donc après un facile calcul 580), celle-ci revient, me semble-t-il, à résoudre PGCD(1740,x)=3 dans 0;1739. Seulement je sèche.. J'ai une vague intuition qu'il faille faire intervenir et résoudre une équation diophantienne, que je n'ai jamais vraiment étudiées.. Je recherche donc une bonne âme pour me fournir une solution détaillée. Vous en remerciant par avance.
Réponses
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Dans un groupe cyclique d'ordre $n$, le nombre d'éléments d'ordre $d$ (avec $d \mid n$) est $\varphi(d)$.
Preuve : il existe un unique sous-groupe d'ordre $d$, et celui-ci possède exactement $\varphi(d)$ générateurs, qui sont d'ordre $d$. L'unicité de ce sous-groupe garantit que l'on a bien tous les éléments d'ordre $d$ du groupe.
La réponse à ta question est donc $\varphi(580) = 224$. -
J'ai juste utilisé $580 = 4 \times 5 \times 29$ et la multiplicativité de l'indicatrice d'Euler.
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Je suis désolé mais ça m'échappe, en quoi décomposer 580 de cette façon précise permet de répondre, et qu'appelez-vous la multiplicativité de l'indicatrice ?
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La fonction indicatrice d'Euler est multiplicative, ça veut dire que si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, alors $\varphi(ab) = \varphi(a) \times \varphi(b)$. C'est une conséquence du théorème chinois. Il suffit donc de savoir calculer l'indicatrice de n'importe quelle puissance de nombre premier, ce qui se fait facilement à l'aide de la formule $\varphi(p^n) = p^{n-1}(p-1)$ pour tout $p$ premier et $n \geq 1$. Cette dernière formule se démontre par un dénombrement facile.
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Merci encore mais cela ne m'éclaire pas davantage, il me semble que vous surestimez grandement mon niveau, ou alors je fais un blocage.. Je vais me montrer insistant peut-être, mais vous serait-il possible de détailler très précisément le calcul qui vous a mené à 224, dont je ne vois toujours pas d'où il vient concrètement..
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Bah $\varphi(580) = \varphi(4) \times \varphi(5) \times \varphi(29) = 2 \times 4 \times 28 = 224$.
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Je comprends à présent.. J'avais omis que l'indicatrice d'Euler de p premier n'est ni plus ni moins que p-1, à partir de là le calcul est bien plus aisé effectivement..
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Bonjour!
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