Nombre d'éléments d'ordre 580 dans Z/1740Z
dans Arithmétique
Bonjour,
La question de base portant sur le nombre d'éléments ayant le même ordre que 21 dans (Z/1740Z, +) (celui-ci étant donc après un facile calcul 580), celle-ci revient, me semble-t-il, à résoudre PGCD(1740,x)=3 dans 0;1739. Seulement je sèche.. J'ai une vague intuition qu'il faille faire intervenir et résoudre une équation diophantienne, que je n'ai jamais vraiment étudiées.. Je recherche donc une bonne âme pour me fournir une solution détaillée. Vous en remerciant par avance.
La question de base portant sur le nombre d'éléments ayant le même ordre que 21 dans (Z/1740Z, +) (celui-ci étant donc après un facile calcul 580), celle-ci revient, me semble-t-il, à résoudre PGCD(1740,x)=3 dans 0;1739. Seulement je sèche.. J'ai une vague intuition qu'il faille faire intervenir et résoudre une équation diophantienne, que je n'ai jamais vraiment étudiées.. Je recherche donc une bonne âme pour me fournir une solution détaillée. Vous en remerciant par avance.
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Réponses
Preuve : il existe un unique sous-groupe d'ordre $d$, et celui-ci possède exactement $\varphi(d)$ générateurs, qui sont d'ordre $d$. L'unicité de ce sous-groupe garantit que l'on a bien tous les éléments d'ordre $d$ du groupe.
La réponse à ta question est donc $\varphi(580) = 224$.