Legendre

Lavandes
Lavandes
dans Arithmétique
Bonjour, s'il vous plaît comment peut-on montrer ça. $$
n!=\prod p^{\tfrac{n-S{p}(n)}{p-1}},$$ pour $p$ premier et $p\leq n$
et $S{p}(n)$ c'est la somme des chiffres de $n$ dans sa représentation en base $p$.
Merci.

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Si tu connais la formule de Legendre, ce n'est pas trop difficile à établir. Par contre je n'ai jamais vu une telle formule appelée formule de Mertens, d'où tiens-tu ce nom ?
  • Lavandes
    Lavandes
    C'est une formule équivalente à celle de Legendre, en ce qui concerne le nom je l'ai trouvé sur internet "théorème de Mertens".
  • Poirot
    Poirot
    C'est curieux, le théorème de Mertens, ou plutôt les théorèmes de Mertens, ça désigne classiquement trois estimations asymptotiques célèbres obtenues par Mertens dans les années 1870 cf. https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_Mertens
  • Lavandes
    Lavandes
    d'accord
  • Poirot
    Poirot
    Du coup tu demandes comment démontrer la formule de Legendre ? Ou comment démontrer la formule dont tu parles à partir de la formule de Legendre ?
  • Lavandes
    Lavandes
    je parle de la seconde formule " la formule qui est equivalente a celle de Legendre" avec $V{p}(n)=\frac{n-S{p}(n)}{p-1}$
  • Poirot
    Poirot
    Commence par exprimer les chiffres de l'écriture de $n$ en base $p$ à l'aide de partie entières.
  • Lavandes
    Lavandes
    $n$ s'écrit $n=\sum a_{i}p^{i}$ pour $i$ allant de $0$ à $m$.
  • Poirot
    Poirot
    Et comment peux-tu écrire $a_m$ en fonction de $n$ et $p$ ? Ensuite cherche à exprimer $a_{m-1}$, etc.
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