Groupe des classes

Un groupe des classes est toujours cyclique ?

Dans ce cas, l'espoir qu'il existe un élément de cet ordre est limité, n'est-ce pas ?

Dans un groupe d'ordre $p^k$, il existe un élément d'ordre $p^k$ SSI le groupe est cyclique, ce qui n'arrive pas toujours. (Si toutes les $p$-composantes sont cycliques (il s'agit bien du sous-groupe des éléments d'ordre une puissance de $p$, n'est-ce pas ?), le groupe est cyclique, d'après le lemme chinois.)

Je suis bien d'accord avec ce que tu dis, mais quel rapport entre "la $p$-composante est cyclique" ($p$ étant fixé à mon humble avis dans la question initiale) et "le groupe tout entier est cyclique" ?

$C_K[p]$ et $C_K[p^\infty]$ en général ne sont pas cycliques. Donc tout dépend du corps de nombre. Si il est connu et petit alors utilise magma http://magma.maths.usyd.edu.au/calc/

P<x>:= PolynomialRing(Rationals());
K := NumberField(x^2-1023);
ClassGroup(K);

sinon c'est super chaud, cf. bouquin de Washington sur les corps cyclotomiques qui développe cette question pour $\Q(\zeta_n)$ sur 300 pages.

La question me semble bien trop générale pour être traitée comme ça.

On peut commencer par rappeler les théorèmes de structure concernant les $p$-groupes des classes [G75].

Données. $F/\mathbb{Q}$ corps de nombres, $K/F$ extension cyclique de degré premier $p$, de groupe de Galois $G$. $A:= \textrm{Cl}_p(K)$ et on suppose que $\textrm{Cl}_p(F)$ est trivial. On note $\zeta_p$ une racine primitive $p$-ème de l'unité, $\Lambda := \mathbb{Z}_p \left(\zeta_p \right)$ et $n := \dim_{\mathbb{F}_p} \left( A / (1-\zeta_p)A \right)$.

Résultats.

1. $A$ est somme directe de $\Lambda$-modules cycliques :
$$A \simeq \bigoplus_{j=1}^n \left( \Lambda / (1-\zeta_p)^{i_j}\Lambda) \right)$$
où $i_1, \dotsc,i_n \in \mathbb{Z}_{\geqslant 1}$.

2. $A$ est somme directe de groupes abéliens : avec les notations précédentes, si l'on pose $i_j = (p-1) q_j + r_j$ avec $0 \leqslant r_j < p-1$
$$A \simeq \bigoplus_{j=1}^n\left \{ \left( \mathbb{Z} / p^{q_j+1} \mathbb{Z} \right)^{r_j} \oplus \left( \mathbb{Z} / p^{q_j} \mathbb{Z} \right)^{p-1-r_j} \right \}.$$

3. Soient $\displaystyle v := \sum_{\substack{j=1 \\ q_j \neq 0}}^n 1$ et $\displaystyle v := \sum_{\substack{j=1 \\ q_j = 0}}^n r_j$. Alors $\textrm{rg} (A) = (p-1)v+w$ et si $\textrm{rg}(A) < p-1$, alors $A$ est un $p$-groupe abélien élémentaire.

Exemple. $p=3$, $F = \mathbb{Q}$, $K$ corps cubique cyclique tel que $\omega(d_K) = 2$ et $h_3(K) = 3^m$ pour un certain $m \in \mathbb{Z}_{\geqslant 1}$. Alors
$$\textrm{Cl}_3(K) \simeq \begin{cases} \left( \mathbb{Z} / 3^{m/2} \mathbb{Z} \right)^2, & \textrm{si} \ 2 \mid m \\ \left( \mathbb{Z} / 3^{(m+1)/2} \mathbb{Z} \right) \oplus \left( \mathbb{Z} / 3^{(m-1)/2} \mathbb{Z} \right), & \textrm{sinon}. \end{cases}$$

Référence.

[G75] F. Gerth III, A note on $\ell$-class groups of number fields, Math. Comp. 29 (1975), 1135--1137.