Théorème de raréfaction de Legendre

$\frac{ \varphi(P_n) }{ P_n } \to 0$ ça nous dit que $\prod_p (1-p^{-1}) =0$ donc $ \zeta(1)=\infty$ je ne vois pas à quoi ça sert ici.

$\pi(x)\in [\frac{ax}{\ln x},\frac{b x}{\ln x}]$ est une conséquence de $$(\pi(2n)-\pi(n))\log n \le \theta(2n)-\theta(n)\le \log {2n\choose n} \le \psi(2n)$$ $$\log {2n\choose n}=\log \frac{2n(2n-1)}{n^2} {2(n-1)\choose n-1}=\log {2(n-1)\choose (n-1)}+\log 4+O(1/n)= n \log 4+O(\log n)$$ De ces encadrements on déduit plus ou moins directement les théorèmes de Mertens.

Il faudrait que j'ajoute un paragraphe sur ça dans https://en.wikipedia.org/wiki/Mertens'_theorems

L'article de Wikipédia est pour le moins (très) incomplet.

Pour comprendre le raisonnement de Legendre, il faut remonter à ce que l'on appelle la formule de Legendre, qui est l'une des premières identités formelles appartenant aux méthodes de crible [FI, page 4] : si $A$ est un ensemble d'entiers, $(a_m)_{m \in A}$ est une suite quelconque, si $z$ est un entier positif et si $P(z)$ est le produit des nombres premiers $\leqslant z$, alors
$$\sum_{\substack{m \in A \\ (m,P(z))=1}} a_m = \sum_{d \mid P(z)} \mu(d) \sum_{\substack{m \in A \\ m \equiv 0 \, (\textrm{mod} \, d)}} a_m.$$
On applique ça à $A = \{1, \dotsc,n \}$ et $a_m = 1$, ce qui donne, en notant $\{x\} = x - \lfloor x \rfloor$ la partie fractionnaire
$$\pi(n,z) = \sum_{d \mid P(z)} \mu(d) \left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor = n \sum_{d \mid P(z)} \frac{\mu(d) }{d} - \sum_{d \mid P(z)} \mu(d) \left \{\frac{n}{d} \right \} = n \frac{\varphi(P(z))}{P(z)} - \sum_{d \mid P(z)} \mu(d) \left \{\frac{n}{d} \right \} $$
où $\pi(n,z)$ est le nombre d'entiers $m \leqslant n$ qui ne sont pas divisibles par les nombres premiers $\leqslant z$. L'inégalité évidente $\pi(n) \leqslant \pi(n,z)+z$ implique
$$\frac{\pi(n)}{n} \leqslant \frac{\varphi(P(z))}{P(z)} - \frac{1}{n} \sum_{d \mid P(z)} \mu(d) \left \{\frac{n}{d} \right \} + \frac{z}{n} \leqslant \frac{\varphi(P(z))}{P(z)} + \frac{2^{z} + z}{n}.$$
On choisit alors $z = 1 + \left \lfloor \log n \right \rfloor$, de sorte que le terme de droite tend vers $0$ lorsque $n \to \infty$.

Remarque 1. je n'ai utilisé ici que l'indication de Wiki, à savoir le premier quotient tend vers $0$, mais il faut savoir que les théorèmes de Mertens majorent efficacement le premier terme à droite, ce qui permet d'obtenir
$$\pi(n) \leqslant \frac{c_0 n}{\log \log n} \quad \left( n \geqslant 10 \right)$$
pour une constante $c_0 > 0$ que l'on peut calculer explicitement, ce qui est moins spectaculaire que les bornes de Chebyshev, mais ici on n'utilise que des méthodes strictement élémentaires (à peine plus élevées que le crible d'Ératosthène).


Remarque 2. La fonction arithmétique
$$\varphi(x,n) := \sum_{d \mid n} \mu(d) \left \lfloor \frac{x}{d} \right \rfloor$$
s'appelle aujourd'hui totient de Legendre. Elle généralise le totient d'Euler $\varphi(n)$.

Référence.

[FI] J. Friedlander & H. Iwaniek, Opera de Cribro, American Math. Soc., Colloquium Publications, vol. 57, 2010.