Estimation de somme de Fourier
dans Arithmétique
Bonjour
Soit $A$ une partie de $\mathbb{N}$ je note $A_n$ l'ensemble des éléments de $A$ inférieur à $n$. De quelle(s) méthode(s) dispose-t-on pour estimer les sommes du type : $$
S_n(\theta) = \sum_{k \in A_n} \exp(ik\theta),
$$ lorsque $n \to \infty$ ? Avec quelle(s) quantité(s) dépendant de $A$ $S_n$ est-elle en lien ? (densité, fonction caractéristique, fonction de comptage...) ? $A = \{ \textrm{carrés parfaits} \}$ ou $B = \{ \textrm{ nombres premiers} \}$ par exemple si $A$ quelconque est trop général.
Soit $A$ une partie de $\mathbb{N}$ je note $A_n$ l'ensemble des éléments de $A$ inférieur à $n$. De quelle(s) méthode(s) dispose-t-on pour estimer les sommes du type : $$
S_n(\theta) = \sum_{k \in A_n} \exp(ik\theta),
$$ lorsque $n \to \infty$ ? Avec quelle(s) quantité(s) dépendant de $A$ $S_n$ est-elle en lien ? (densité, fonction caractéristique, fonction de comptage...) ? $A = \{ \textrm{carrés parfaits} \}$ ou $B = \{ \textrm{ nombres premiers} \}$ par exemple si $A$ quelconque est trop général.
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Réponses
Pour un ensemble moins dense, cela devient plus difficile. Pour fixer les idées, prenons pour $A$ l'ensemble des nombres premiers, et notons conformément à l'usage $e(x)= e^{2 i \pi x}$. Tu cherches donc une estimation de la somme
$$\sum_{p \leqslant n} e \left( \frac{p \theta}{2 \pi} \right)$$
où je rappelle qu'en arithmétique, on utilise la convention qui stipule que toute somme ou produit indicée par la lettre $p$ ne porte que sur des nombres premiers.
Le premier réflexe est généralement de remplacer cette somme par la suivante, très proche d'elle à un facteur $\log n$ près :
$$\sum_{k \leqslant n} \Lambda(k) e \left( \frac{k \theta}{2 \pi} \right)$$
où $\Lambda$ désigne la fonction de von Mangoldt (attention : le "v" de "von" ne se met pas en majuscule...).
Ensuite, tout dépend de savoir si $\frac{1}{2 \pi} \theta$ a une "bonne" approximation rationnelle ou pas. Depuis les années 30, avec Vinogradov notamment, on dispose de bons résultats pour estimer cette somme.
On a aussi depuis assez peu de temps de résultats lorsque $A$ est un ensemble d'entiers $y$-friables.
Dans tous les cas, les résultats obtenus sont hautement non triviaux.
\pi_2(n) = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} |S_n(\theta)|^2S_n(\theta)d\theta,
$$ où on a pris $A = \{ \textrm{nombres premiers} \}$ et $\pi_2$ est la fonction de comptage des nombres premiers jumeaux, une "bonne" estimation de $S_n$ donne une "bonne" estimation de $\pi_2$ ceci va bien sûr dans ton sens et montre bien que trouver de bonnes estimations de : $$
\sum_{p \leq n} \exp(2i \pi p)
$$ est (extrêmement) difficile. Par ailleurs je suis intéressé par une référence pour les résultats que tu mentionnes lorsque $A$ est un ensemble d'entiers friables.
A. J. Harper, Minor arcs, mean values, and restriction theory for exponential sums over smooth numbers, Compositio Mathematica 152 (2016), 1121–1158.
Si $\gcd(a,q)=1$ alors $\sum_{ p \le x} e^{2i \pi ap/q} =\frac{ \mu(q)}{\phi(q)} Li(x) +O(\frac{x}{\log^k x})$ c'est le PNT pour les fonctions L de Dirichlet.
Question: Comment Hardy a arrivé à conjecturer que : $x \to +\infty, \quad \pi_2(x) \sim 2 C_2 \, \dfrac{x}{\log(x)^2}$ en utilisant la méthode du cercle ?
Avec : $C_2 = \displaystyle{\small \prod_{\substack{3 \leq p \\ \text{p primier}}} \left({\normalsize 1-\dfrac{1}{(p-1)^2}}\right)}$
Je suis arrivé à la même conjecture en utilisant le théorème des restes chinois + théorème des nombres premiers : La conjecture de k uple
Les conjectures de Hardy pour les densités de certains ensembles de nombres premiers sont posés bien avant le modèle de Cramèr.
Il est connu que Hardy a utilisé la méthode du cercle pour donner des arguments heuristiques à ces densités.
http://fuchs-braun.com/media/8cdd73c813c342f8ffff80d1fffffff0.pdf
La conjecture de k-tuple est dans le théorème X.I (théorème basé sur la conjecture X page 56) dans la page 61.