Exo rigolo

Bonne nuit,

$\dfrac{2 \pm \sqrt{10}}{2}$ ?

Cordialement,

Rescassol

$\left\{
\begin{array}{ll}
x^2+y^2&=7\\
x^3+y^3&=17\\
\end{array}
\right.$

Si $S=x+y,P=xy$ donc $x^2+y^2=S^2-2P,x^3+y^3=S^3-3SP$

On a donc le système d'équations:

$\left\{
\begin{array}{ll}
S^2-2P&=7\\
S^3-3SP&=17\\
\end{array}
\right.$

De là on déduit que $S$ doit vérifier l'équation $S^3-21S+34=0$.
Cette équation a une solution entière $2$. De là on peut résoudre complètement cette équation. Elle n'a pas d'autres racines réelles.
De là on en déduit que $P=-\dfrac{3}{2}$ .
Les nombres $x,y$ sont solutions de l'équation $X^2-SX+P=0$ c'est à dire $X^2-2X-\dfrac{3}{2}=0$ qui est équivalente à $2X^2-4X-3=0$. $\Delta=16-4\times 2 \times -3=40$.
Les Une solution est donc $X=\dfrac{4\pm\sqrt{40}}{4}=\dfrac{2\pm\sqrt{10}}{2}$
On vérifie, en effet, que ces deux nombres sont solutions du problème posé.

PS:
C'est la solution donnée par Rescassol qui m'a fait entrevoir que ce calcul allait fonctionner. ;-)

PS2:
J'ai supposé que les nombres à trouver étaient des nombres réels.

PS3:
J'ai la flemme de donner les autres solutions (on devrait lire attentivement ce que les autres ont écrit). Calculs pénibles en perspective.

Première à LLG ?