Exo rigolo
dans Arithmétique
Trouver deux nombres dont la somme des carrés vaut 7 et la somme des cubes vaut 17.
[small]Schumi ?[/small]
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Réponses
$\dfrac{2 \pm \sqrt{10}}{2}$ ?
Cordialement,
Rescassol
Tous calculs faits, voici les trois paires de solutions (une par ligne) :\begin{align*}
&-\frac{1}{2} \, \sqrt{10} + 1\simeq-0.581, &&\frac{1}{2} \, \sqrt{10} + 1\simeq2.581\\
&\frac{3}{2} \, \sqrt{2} - \frac{1}{2} \, \sqrt{6 \, \sqrt{2} - 5} - \frac{1}{2}\simeq0.688,&& \frac{3}{2} \, \sqrt{2} + \frac{1}{2} \, \sqrt{6 \, \sqrt{2} - 5} - \frac{1}{2}\simeq2.555\\
&-\frac{3}{2} \, \sqrt{2} - \frac{1}{2} \, \sqrt{-6 \, \sqrt{2} - 5} - \frac{1}{2}\simeq-2.621 - 1.836\mathrm{i},&& -\frac{3}{2} \, \sqrt{2} + \frac{1}{2} \, \sqrt{-6 \, \sqrt{2} - 5} - \frac{1}{2}\simeq-2.621 + 1.836\mathrm{i}.\end{align*}
PS : ajout de la figure.
\begin{array}{ll}
x^2+y^2&=7\\
x^3+y^3&=17\\
\end{array}
\right.$
Si $S=x+y,P=xy$ donc $x^2+y^2=S^2-2P,x^3+y^3=S^3-3SP$
On a donc le système d'équations:
$\left\{
\begin{array}{ll}
S^2-2P&=7\\
S^3-3SP&=17\\
\end{array}
\right.$
De là on déduit que $S$ doit vérifier l'équation $S^3-21S+34=0$.
Cette équation a une solution entière $2$. De là on peut résoudre complètement cette équation. Elle n'a pas d'autres racines réelles.
De là on en déduit que $P=-\dfrac{3}{2}$ .
Les nombres $x,y$ sont solutions de l'équation $X^2-SX+P=0$ c'est à dire $X^2-2X-\dfrac{3}{2}=0$ qui est équivalente à $2X^2-4X-3=0$. $\Delta=16-4\times 2 \times -3=40$.
Les Une solution est donc $X=\dfrac{4\pm\sqrt{40}}{4}=\dfrac{2\pm\sqrt{10}}{2}$
On vérifie, en effet, que ces deux nombres sont solutions du problème posé.
PS:
C'est la solution donnée par Rescassol qui m'a fait entrevoir que ce calcul allait fonctionner. ;-)
PS2:
J'ai supposé que les nombres à trouver étaient des nombres réels.
PS3:
J'ai la flemme de donner les autres solutions (on devrait lire attentivement ce que les autres ont écrit). Calculs pénibles en perspective.
Si on essaie de résoudre ce système par élimination d'une des variables j'imagine qu'on se retrouve avec une équation du troisième degré qui n'a pas de solution évidente. Ce qui suppose de savoir résoudre une équation du troisième degré.
Vous connaissez beaucoup de gens qui savent résoudre par coeur une équation du troisième degré (sans formulaire)?
PS:
Pour diminuer le nombre de calculs il faudrait ajuster les constantes 7 et 17 afin de n'avoir qu'une seule solution (couple $(x,y)$ )réelle et dans l'énoncé on ajoute qu'on cherche des nombres réels. B-)-
Merci.