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Exo rigolo

Envoyé par Sinusix 
Exo rigolo
il y a neuf mois
avatar
Trouver deux nombres dont la somme des carrés vaut 7 et la somme des cubes vaut 17.

Schumi ?
Re: Exo rigolo
il y a neuf mois
Bonne nuit,

$\dfrac{2 \pm \sqrt{10}}{2}$ ?

Cordialement,

Rescassol
Re: Exo rigolo
il y a neuf mois
Soit $s=x+y$ et $p=xy$. Les conditions s'écrivent $s^2-2p=7$ et $s(s^2-3p)=17$. En éliminant $p$ entre ces deux équations, on trouve une équation de degré $3$ en $s$ dont $2$ est une racine évidente. Cela donne trois couples de solutions $(s,p)$ mais l'équation $x^2-sx+p=0$ n'a des racines réelles que pour deux d'entre eux.

Tous calculs faits, voici les trois paires de solutions (une par ligne) :\begin{align*}
&-\frac{1}{2} \, \sqrt{10} + 1\simeq-0.581, &&\frac{1}{2} \, \sqrt{10} + 1\simeq2.581\\
&\frac{3}{2} \, \sqrt{2} - \frac{1}{2} \, \sqrt{6 \, \sqrt{2} - 5} - \frac{1}{2}\simeq0.688,&& \frac{3}{2} \, \sqrt{2} + \frac{1}{2} \, \sqrt{6 \, \sqrt{2} - 5} - \frac{1}{2}\simeq2.555\\
&-\frac{3}{2} \, \sqrt{2} - \frac{1}{2} \, \sqrt{-6 \, \sqrt{2} - 5} - \frac{1}{2}\simeq-2.621 - 1.836\mathrm{i},&& -\frac{3}{2} \, \sqrt{2} + \frac{1}{2} \, \sqrt{-6 \, \sqrt{2} - 5} - \frac{1}{2}\simeq-2.621 + 1.836\mathrm{i}.\end{align*}
PS : ajout de la figure.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par Math Coss.


Re: Exo rigolo
il y a neuf mois
avatar
$\left\{
\begin{array}{ll}
x^2+y^2&=7\\
x^3+y^3&=17\\
\end{array}
\right.$

Si $S=x+y,P=xy$ donc $x^2+y^2=S^2-2P,x^3+y^3=S^3-3SP$

On a donc le système d'équations:

$\left\{
\begin{array}{ll}
S^2-2P&=7\\
S^3-3SP&=17\\
\end{array}
\right.$

De là on déduit que $S$ doit vérifier l'équation $S^3-21S+34=0$.
Cette équation a une solution entière $2$. De là on peut résoudre complètement cette équation. Elle n'a pas d'autres racines réelles.
De là on en déduit que $P=-\dfrac{3}{2}$ .
Les nombres $x,y$ sont solutions de l'équation $X^2-SX+P=0$ c'est à dire $X^2-2X-\dfrac{3}{2}=0$ qui est équivalente à $2X^2-4X-3=0$. $\Delta=16-4\times 2 \times -3=40$.
Les Une solution est donc $X=\dfrac{4\pm\sqrt{40}}{4}=\dfrac{2\pm\sqrt{10}}{2}$
On vérifie, en effet, que ces deux nombres sont solutions du problème posé.

PS:
C'est la solution donnée par Rescassol qui m'a fait entrevoir que ce calcul allait fonctionner. winking smiley

PS2:
J'ai supposé que les nombres à trouver étaient des nombres réels.

PS3:
J'ai la flemme de donner les autres solutions (on devrait lire attentivement ce que les autres ont écrit). Calculs pénibles en perspective.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par Fin de partie.
Re: Exo rigolo
il y a neuf mois
avatar
Oui, c'est exactement ça. Selon vous, quel est le niveau de cet exercice (énoncé tel quel) ?


JLT
Re: Exo rigolo
il y a neuf mois
avatar
Première à LLG ?
Re: Exo rigolo
il y a neuf mois
avatar
Master 2 math fondamentale? smoking smiley



Si on essaie de résoudre ce système par élimination d'une des variables j'imagine qu'on se retrouve avec une équation du troisième degré qui n'a pas de solution évidente. Ce qui suppose de savoir résoudre une équation du troisième degré.
Vous connaissez beaucoup de gens qui savent résoudre par coeur une équation du troisième degré (sans formulaire)?

PS:
Pour diminuer le nombre de calculs il faudrait ajuster les constantes 7 et 17 afin de n'avoir qu'une seule solution (couple $(x,y)$ )réelle et dans l'énoncé on ajoute qu'on cherche des nombres réels. smoking smiley

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par Fin de partie.
Re: Exo rigolo
il y a neuf mois
avatar
Ou alors en Première mais avec des questions intermédiaires.
Merci.
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