Développement décimal des fractions

On parle bien d'une fractions entre entiers ?

Je vais balancer 2 ou 3 informations ... mais je ne suis même pas sûr que ce que je dis est vrai.

Je vais supposer que notre fraction est donnée sous forme irréductible : $PGCD(numérateur, diviseur) = 1$
Au pire, la période sera égale à $diviseur-1$.

Ecrivons le diviseur comme produit de nombres premiers ; exemple le diviseur est 1001 = 7x11x13
Alors la période sera soit 7-1, soit 11-1, soit 13-1, soit 7x11-1, soit 7x13-1, soit 11x13-1, soit, pire des cas, 7x11x13-1 (pas sûr à 100%, mais j'y crois beaucoup)

Et donc si tu fais la division, et qu'ayant calculé 200 décimales, il n'y a toujours pas de périodicité, la périodicité interviendra forcément au bout de 1000 décimales. Là non plus, pas sûr à 100%, on a parfois des trucs comme 1,234(56)(56)(56)(56)(56) ! la période n'apparaît pas dès la 1ère décimale, mais plus tard.

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Nombre/NbCycliq.htm
Si tu veux une référence livresque, regarde dans Mathématiques d’École de Daniel Perrin.

On considère la fraction irréductible $\frac{a}{b}$ avec $a, b > 0$. Si $b$ est premier avec $10$, alors la période du développement décimal est l'ordre de $10$ dans $\left(\mathbb Z/b\mathbb Z\right)^{\times}$.

Pour s'en convaincre, on commence par écrire $a=qb+r$ avec $0 \leq r < b$. $q$ est alors la partie entière de $\frac{a}{b}$, et tout le développement après la virgule est $\frac{r}{b}$. Notons donc $\frac{r}{b} = 0, a_1a_2a_3 \dots = \frac{a_1}{10} + \frac{a_2}{10^2} + \dots$ On regarde maintenant la division euclidienne de $10r$ par $b$. L'écriture ci-dessus montre que $10r = a_1b + r_1$, avec $\frac{r_1}{b} = 0,a_2a_3\dots$ Puis on trouve $10r_1 = a_2b + r_2$ avec $\frac{r_2}{b} = 0,a_3a_4\dots$ etc. Si la suite $(a_k)_k$ est périodique de période $n$, on trouve donc $r_{n+k} = r_k$ pour tout $k \geq 1$. Mais par construction, $r_k \equiv 10^kr$ mod $b$ et on trouve en particulier que $10^nr \equiv 10r
$ mod $b$. Comme $r$ est premier avec $b$ (puisque $r=bq-a$), on trouve $10^n \equiv 10$ mod $b$. Réciproquement, si $d$ est l'ordre de $10$ mod $b$, on trouve $r_{k+d} \equiv r_k$ mod $b$ pour tout $k \geq 1$. Puisque chaque $r_k$ est $< b$, on a une vraie égalité et on en déduit que $d$ est une période de lasuite $(a_k)_k$.

Si $b$ n'est pas premier avec $10$, ça décale juste le début de la périodicité, et en écrivant $b=2^n 5 ^m q$, avec $q$ premier avec $10$, la période est juste l'ordre de $10$ dans $\left(\mathbb Z/q\mathbb Z\right)^{\times}$.