Nombre de résidus quadratiques

francoiswolf · November 2019

Bonjour,
je souhaiterais savoir s'il existe des nombres premiers p tels que tous les carrés dans (Z/pZ)^* soient uniquement des nombres impairs ?

Merci.

Math Coss · November 2019

Qu'est-ce que c'est, un nombre impair modulo $p$ premier (impair) ? Disons que $k$ est un carré. Si $k$ est pair, $k-p$ (ou $k+p$) est impair et vice versa. Peut-être veux-tu parler du représentant entre $0$ et $p-1$ ?

Pour $p=3$, le seul carré non nul est $1$. En revanche, pour $p\ge5$, on a un carré, $4$, qui a de bonnes chances d'être pair pour toute définition raisonnable.

francoiswolf · November 2019

Merci pour ta réponse
Effectivement, je parle du représentant entre 0 et p-1.
En effet, on sait que 0 et 1 sont toujours des résidus quadratiques. On sait que l'on a (p-1)/2 résidus quadratiques dans (Z/pZ)*.

Mais par exemple soit p=11, est-ce que l'ensemble des représentants (1,3,5,7,9) sont tous des résidus quadratiques dans (Z/11Z)* ? Non.
Existe-t-il un nombre p tel que la réponse soit positive ?

Y a-t-il un article qui le démontre, que la réponse soit oui ou non ?

Merci

Math Coss · November 2019

C'est clair que non : il y a $(p-1)/2$ résidus quadratiques dont l'un est $4$ donc au moins un nombre « impair » n'en est pas un.

Pourquoi $(p-1)/2$ carrés dans $(\Z/p\Z)^*$ ? Parce que c'est l'ordre de l'image du morphisme de $(\Z/p\Z)^*$ dans lui-même défini par $x\mapsto x^2$, dont le noyau est $\{-1,1\}$ donc d'ordre $2$. (Plus sobrement, chaque carré a exactement $2$ antécédents, $x$ et $-x$, donc il y a deux fois moins de carrés que d'éléments dans $(\Z/p\Z)^*$.)

francoiswolf · November 2019

Merci beaucoup pour cette réponse très claire

Nombre de résidus quadratiques

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