Courbes elliptiques

Une variété affine définie sur $k$ c'est à la fois une équation algébrique, son anneau de coordonnée, son corps de fonctions, et les points de la courbe c'est à dire les homomorphismes de l'anneau de coordonnée vers $\overline{k}$, les idéaux maximaux et premiers de l'anneau de coordonnée.

Pour la courbe elliptique $E/\Q : y^2=x^3+1$ et $K$ un corps contenu dans $\overline{\Q}$ ou même dans $\C$ alors $E(K)= \{ (x,y)\in K^2, y^2=x^3+1\}$ c'est les points définis sur $K$ de la courbe, quand on ajoute $\infty$ ça devient un groupe abélien. Si $K$ est suffisamment gros alors $E$ est uniquement définie par $E(K)$, mais ce n'est pas toujours le cas quand $K=\Q$.

L'anneau de coordonnée c'est $$\Q[E]=\Q[x,y]/(y^2-x^3-1)$$
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