Énigme
dans Arithmétique
Bonsoir/bonjour à tous
On pose E=[1, 2, 3, ..., 2n] avec n un entier naturel, ma question est :
si on prend n+1 nombres on peut se convaincre facilement qu'il y aura toujours un nombre qui en divisera un autre, maintenant prenons n+2 nombres est-ce qu'il y aura toujours 1nombre qui divisera un autre, et aussi un autre nombre qui divisera un nombre parmi c'est n+2 nombres ?
E=[1,10] On prend donc 7 nombres par exemple (9,10,8,7,6,5,4) et on voit que 4:8 et que 5 divise 10..
On pose E=[1, 2, 3, ..., 2n] avec n un entier naturel, ma question est :
si on prend n+1 nombres on peut se convaincre facilement qu'il y aura toujours un nombre qui en divisera un autre, maintenant prenons n+2 nombres est-ce qu'il y aura toujours 1nombre qui divisera un autre, et aussi un autre nombre qui divisera un nombre parmi c'est n+2 nombres ?
E=[1,10] On prend donc 7 nombres par exemple (9,10,8,7,6,5,4) et on voit que 4:8 et que 5 divise 10..
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Réponses
Des tiroirs et des chaussettes. Modulo.
Avec n+2 nombres, on se pose la question : est-on sur qu'il y a au moins 2 couples (a,b) et (c,d) ...
Donc comment tu fais pour "te convaincre qu'il y en a toujours un qui divise un autre dans le sous-ensemble à $n+1$ éléments" ?
Deux jours plus tard, je n'ai toujours pas compris pourquoi/si
La deuxième partie du message initial demande si en prenant $n+2$ nombres, on a une deuxième divisibilité se voit répondre "principe des tiroirs".
Grand moment d'ésotérisme : on dirait le sous forum géométrie : quelqu'un poste une image avec la consigne "démontrer" et le suivant répond "Desargues Pascal céviennes" et c'est gagné :-D
Bravo marsup, la fin de ton message m'a bien fait rire :-D
Alors si quelqu'un a une réponse à me proposer je suis preneur. Car je ne vois vraiment pas..
Je batis donc un nouveau groupe de n+1 nombres maintenant, en retirant a (ou b, peu importe).
Dans ce nouveau groupe, j'ai forcément un couple (c,d) tel que c divise d.
J'ai donc mes 2 couples (a,b) et (c,d).
Eventuellement, ces 2 couples ont un élément en commun.
C'était une question d'initiation aux mathématiques préférées de Paul Erdös, pour les « epsilons » comme il disait, c'est-à-dire les jeunes débutants. Il faut croire alors qu'il ne considérait pas ça comme « évident ». Il l'avait posé au cours d'un dîner en 1960 au jeune Lajos Pósa, quand celui-ci avait 13 ans, et à la fin de ce dîner le jeune avait trouvé. Voir aussi : Béla Bollobás, The Art of Mathematics: Coffee Time in Memphis, Cambridge University Press, 2006, p. 48. Comme écrit Bollobás : « en cette occasion le champagne aurait été plus approprié que la soupe ».
Bonne journée.
Fr. Ch.
Sinon lourran je ne comprends pas très bien votre démonstration vous prenez en ensemble de n+2 nombres, on sait qu'il y aura un couple (a, b) tel que a:b puis dans ce même paquet de nombre je retire le a donc il me reste mon b et n nombres donc j'ai n+1 nombres, alors je sais que il va exister un c tel que c:d (c peut être égal à b) et en remettant le nombre a, j'obtiens mes deux couples ?
J'ai bien compris ou pas du tout ?
L' ensemble des n nombres "compatibles" est celui des nombres de n+1 à 2n, dont les pairs peuvent être remplacés par leur moitié. Par exemple de 1 à 100, on peut remplacer 100 par 50. On peut aussi remplacer 52 par 26 à condition d'avoir remplacé également 3*26 = 78 par 39, mais peu importe :les nombres sont appariés avec leur moitié, qui sont dans la tranche n/2 à n.
En revanche, il est impossible de remplacer l'un de ces nombres s'il est de forme 3x par x, car nécessairement, 2x ou 4x fait partie de l'ensemble. A plus forte raison, on ne peut pas remplacer kx par x si x > 3.
Si on veut ajouter 2 nombres, ils ne peuvent pas faire partie tous les deux du groupe des appariés, puisqu'alors on aurait immédiatement 2 couples incompatibles. Mais si on choisit un nombre dans la tranche 1 à n/2, celui ci est en couple avec au moins 2 nombres de l'ensemble, puisque l'écart entre 2 de ses multiples consécutifs est < n / 2, dans une tranche de n nombres.
Avec n+2 nombres, il y a au moins 2 couples interdits.