Encadrement

Bonjour,

Qui est \(p_n\) ?

Si on a droit au théorème des nombres premiers, on peut écrire, comme les séries divergent : \[
\ln u_n=\sum_{k=1}^n-\ln\left(1-\frac1{p_k}\right)\sim\sum_{k=1}^n\frac1{p_k}\sim\sum_{k=1}^n\frac{1}{k\ln k}\sim\int_2^n\frac{\mathrm{d}t}{t\ln t}\sim \ln\ln n.\]Alors, on a un encadrement $\frac12\ln n\le u_n\le 2\ln n$ et la suite $\bigl(u_n/n^{1/2}\bigr)$ est bornée.

Le théorème des nombres premiers donne $p_n\sim n\ln n$. La série de terme général $1/(n\ln n)$ diverge donc les sommes partielles des séries de termes généraux $1/p_n$ et $1/(n\ln n)$ sont équivalentes.

Si on connaît le théorème des nombres premiers, on a, par définition, $\pi(p_n)=n \underset{n \to +\infty}{\sim} \frac{p_n}{\log p_n}$, donc $p_n \underset{n \to +\infty}{\sim} n \log p_n \underset{n \to +\infty}{\sim} n \log( n \log p_n) \underset{n \to +\infty}{\sim} n \log n$. Si une étape ne te convainc pas, écris la définition d'un équivalent avec des $o(1)$.

Réciproquement, si $p_n \underset{n \to +\infty}{\sim} n \log n$, alors pour tout $n \geq 2$, notons $p_k \leq n < p_{k+1}$ les nombres premiers les plus proches de $n$. Par définition, on a $\pi(n) = k$. Or, on a $k \log k(1+o(1)) \leq n \leq (k+1)\log(k+1)(1+o(1)) = k \log k (1+o(1))$ quand $k$ (et donc $n$) tend vers $+\infty$, d'où $k = \pi(n) \underset{n \to +\infty}{\sim} \frac{n}{\log k} \underset{n \to +\infty}{\sim} \frac{n}{\log(n) - \log \log k} \underset{n \to +\infty}{\sim} \frac{n}{\log n}$.

C'est une idée que l'on peut affiner pour obtenir l'encadrement de Tchebychev, n'est-ce pas ?