Constante fondamentale de l'arithmétique

Je dirais que tout vient de l'omniprésence des produits eulériens, et par là-même de l'égalité
$$\prod_{p \leqslant x} \left( 1 - \frac{1}{p} \right)^{-1} = \sum_{P^+(n) \leqslant x} \frac{1}{n}$$
qui est une traduction analytique du théorème fondamental de l'arithmétique.

Comme vous la mentionnez, le choix de $r=e^{-\gamma}$ est fait pour lier le théorème des nombres premiers avec le 3ème théorème de Mertens.
Puis on trouve que ces considérations marchent aussi pour estimer les densités de certains ensembles en relation avec les nombres premiers.
Mais il faut voir que ces densités sont données pour la première fois par Hardy-Littlewood en 1923 en utilisant la méthode de cercle.
Et Hardy-Littlewood ne publient pas cette article qu’après des vérifications numériques solides.

Donc arriver à ces mêmes densités par le modèle aléatoire des nombres premiers donne "une légitimité" à cette méthode.

On ne peut pas nier le comportement quasi-aléatoire des nombres premiers, mais la vérité se perd dans les considérations d'indépendance des $n \pmod p$ de $p$ à l'autre et la distribution uniforme de $n \pmod p$ dans $0,1,\cdots, p-1$.
Donc je ne pense pas qu'on puisse expliquer le terme $r=e^{-\gamma}$ en utilisant cette méthode.

J'ai construit un autre modèle qui se base sur le théorème des restes chinois & TNP et qui propose une relation non-triviale entre les nombres premiers $\leq x$ et les nombres criblés jusqu'au rang $\log(x)$ et $\leq x$.
Dans ce modèle on doit expliquer aussi ce terme $r=e^{-\gamma}$ qui est sans doute qui cache le mystère.
https://lagrida.com/conjecture_k_uple.html

@reuns
c'est hors les mathématiques actuel de cribler avec un ordre aléatoire de nombres premiers.
Mais on peut changer l'ordre des nombres premiers avec lesquels on crible.

Soit $p,q$ deux nombres premiers.
Soit $I_{q}(n)$ le nombre des éléments inférieures à $n$ et premiers avec $p_1,p_2,\ldots,q$.

On définit $u_{p}(n)$ par le nombre des éléments inférieur à $n$ et qui ont $p$ comme plus petit diviseur, alors:

On montre facilement que $\forall n \in \mathbb{N}^* \, : n-1 = \displaystyle\sum_{\substack{p \leq n \\ p \text{ premier}\\}} u_{p}(n)$

Et pour n'importe quel nombre premier $2 \leq q \leq n$ on a : $$
\begin{array}{rcl}
I_{q}(n) & = & n - \displaystyle\sum_{\substack{p \leq q \\p \text{ premier}\\}}u_{p}(n), \qquad (1) \\ \\
& = & 1 + \displaystyle\sum_{\substack{q < p \leq n \\p \text{ premier}\\}}u_{p}(n). \qquad (2)
\end{array}

$$ Soit $q=p_k$, donc on peut cribler par $2, 3, 5, \ldots, q$ comme on peut cribler par $p_{k+1}, p_{k+2},\cdots,p_m$ ($m$ est le plus grand indice tel que $p_m \leq n$).

Le problème est qu'on ne peut pas estimer $u_{p}(n)$ d'une façon efficace, et la meilleur façon c'est pour $p$ petit ($u_{p}(n)$ a une grande valeur et le terme d'erreur est négligeable).

Pour $p$ grand alors on a $u_{p}(n)$ est petit, donc c'est très difficile d'estimer la formule $(2)$.
Utilisant la formule de Legendre : $$
I_{q}(n) = \left\lfloor \frac{n}{q} \right\rfloor - \sum_{p < q}\left\lfloor \frac{n}{p q} \right\rfloor + \cdots + (-1)^{\pi(q)-1} \bigg\lfloor \frac{n}{{\small \prod_{\substack{p \leq q \\ p\text{ premier}}} {\normalsize p}}} \bigg\rfloor.$$