Une application
dans Arithmétique
Bonjour, soit $\tau, \tau'$ deux nombres complexes de parties imaginaires strictement positives. On a le résultat suivant :
$\mathbb{C}/\mathbb{Z} + \tau \mathbb{Z}$ et $\mathbb{C}/\mathbb{Z} + \tau' \mathbb{Z}$ sont holomorphes en tant que variétés complexes* si et seulement si il existe une matrice $\begin{pmatrix}
a & b\\
c & d\\
\end{pmatrix} \in Sl_{2}(\mathbb{Z})$ telle que $\tau' = \frac{a\tau + b}{c \tau + d}$.
Je vu qu'on appelle cela "courbe elliptique", un $\mathbb{Z}$ et ai déjà vu cela ailleurs (en arithmétique) d'où ma question : cela a-t-il une application en arithmétique?
Désolez si ma question** est stupide (je trouve qu'elle fait un peu du genre "j'ai vu un mot y a un lien?").
*Elles sont munies de la topologie quotient et de la structure de variété définie ici : https://www.math.u-psud.fr/~paulin/notescours/cours_geodiff.pdf page 30.
**Je lis beaucoup sur la topologie et la géométrie et me suis interrogé en voyant le théorème mentionné dans les notes de Monsieur Paulin.
$\mathbb{C}/\mathbb{Z} + \tau \mathbb{Z}$ et $\mathbb{C}/\mathbb{Z} + \tau' \mathbb{Z}$ sont holomorphes en tant que variétés complexes* si et seulement si il existe une matrice $\begin{pmatrix}
a & b\\
c & d\\
\end{pmatrix} \in Sl_{2}(\mathbb{Z})$ telle que $\tau' = \frac{a\tau + b}{c \tau + d}$.
Je vu qu'on appelle cela "courbe elliptique", un $\mathbb{Z}$ et ai déjà vu cela ailleurs (en arithmétique) d'où ma question : cela a-t-il une application en arithmétique?
Désolez si ma question** est stupide (je trouve qu'elle fait un peu du genre "j'ai vu un mot y a un lien?").
*Elles sont munies de la topologie quotient et de la structure de variété définie ici : https://www.math.u-psud.fr/~paulin/notescours/cours_geodiff.pdf page 30.
**Je lis beaucoup sur la topologie et la géométrie et me suis interrogé en voyant le théorème mentionné dans les notes de Monsieur Paulin.
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Réponses
Par exemple, certains systèmes fondés sur une (ou des) clé(s) publique(s) peuvent être implémentés en utilisant le groupe des points d'une courbe elliptique $E$ à coordonnées dans un corps fini $\mathbb{F}_q$, groupe noté $E (\mathbb{F}_q)$.
En pratique, on souhaite avoir un sous-groupe cyclique de $E (\mathbb{F}_q)$ dont l'ordre est divisible par un nombre premier grand. Une manière possible d'obtenir ça est de choisir $E$ et $\mathbb{F}_q$ tels que le sous-groupe en question ait un ordre premier. Pour ce faire, on peut :
(i) ou bien fixer $p$ et faire varier les coefficients de $E$ dans $\mathbb{F}_p$ ;
(ii) ou bien se donner une courbe $E$ définie sur $\mathbb{Z}$ et choisir $\mathbb{F}_p$ tel que $\left| E (\mathbb{F}_p) \right|$ soit premier.
Une dernière question : avez-vous une "porte d'entrée" pour l'arithmétique utilisant l'analyse complexe et la géométrie ? (Livre, PDF, pré requis). Cela fait longtemps que j'aimerais m'y mettre en plus de mes autres projets actuels. Mon niveau : agrégation externe avec de bonnes bases en topologie et en géométrie différentielle.
Bonne soirée.
Et si tu veux apprendre des choses sur les courbes elliptiques, le The Arithmetic of Elliptic Curves de Silverman est un incontournable.
Bon, dans tout ça honnêtement il n'y a pas grand-chose pour l'agreg, si ce n'est quelques idées de développement à piocher dans le Hindry.
Et bien merci beaucoup pour ces références. On dirait qu'il est maintenant temps de m'y mettre.
Bonne soirée.