Diviseurs de repunit
dans Arithmétique
Bonjour à tous .
Un repunit ( répète unité ) est un entier dont l'écriture décimale n'utilise que le chiffre 1 .
Une question bête m’intrigue depuis quelques heures : "tout entier premier avec 10 possède-t-il un multiple repunit ?"
Merci d'avance pour vos réponses :-)
Domi
Un repunit ( répète unité ) est un entier dont l'écriture décimale n'utilise que le chiffre 1 .
Une question bête m’intrigue depuis quelques heures : "tout entier premier avec 10 possède-t-il un multiple repunit ?"
Merci d'avance pour vos réponses :-)
Domi
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Réponses
Soit un entier strictement positif $m$. Il y a forcément deux repunits distincts qui ont le même reste mod. $m$. Leur différence est multiple de $m$ et elle est égale à un repunit fois une puissance de $10$. Si $m$ est premier avec $10$, alors il divise le repunit en question.
Et ce raisonnement vaut pour notre $10=9+1$ (dix) comme pour toutes les autres bases de numération.
Bonne journée.
Fr. Ch.
$$
R_n = {10^n - 1 \over 10 - 1} = {10^n - 1 \over 9}
$$Alors, pour $p$ premier $\ge 7$, $R_{p-1}$ est divisible par $p$.
Pour $n$ entier, $n \ge 1$, soit $R_n$ le nombre entier, dit repunit, qui s'écrit avec $n$ chiffres $1$ en base $b$.
Si l'on y regarde de plus près, mon raisonnement à tiroirs ci-dessus autorise à affirmer que tout entier $m >0$ premier avec $b$ divise un repunit $R_q$ avec $1 \le q \le m$.
En effet, si $1 \le k <h$ alors $R_h-R_k=R_{h-k} b^k$, etc.
Bonne après-midi, et bon réveillon, huîtres, foie-gras, etc. et merde aux végans.
Fr. Ch.
24/12/2019
Le kk étant un produit animal, il ne peut être consommé par un végan. (:P)
Prouver qu'un repunit de 3^k chiffres est divisible par 3^k mais pas par 3 ^(k+1).
Comme l'a énoncé Claude Quitté, ce repunit à $n$ chiffres $ « 1 »$ est : $R_n = {10^n - 1 \over 9}$.
Il s'agit donc de prouver que pour $n \in \mathbb N$ on a : $ 10^{3^n}=1+3^{n+2} q_n $ avec $q_n$ entier non multiple de $3$.
Une récurrence semble convenir.
La propriété est vraie pour $n=0$, avec $q_0=1$.
Si elle est vraie pour un $n \in \mathbb N$ alors : $10^{3^{n+1}}=(10^{3^n})^3=(1+3^{n+2} q_n)^3 =1+3^{n+3}q_{n+1} $,
où $q_{n+1}$ est un entier que je vous laisse calculer en fonction de $q_n$, vous verrez qu'il apparaît sous une forme qui montre qu'il n'est pas multiple de $3$.
On peut même préciser que $q_{n+1} \equiv q_n \pmod 9$, et espérer que la Guilde des Logiciens nous autorisera à en déduire que $q_{n} \equiv 1 \pmod 9$.
Joyeux Noël, fête de l'Incarnation.
Fr. Ch.
En fait , pris par d'autres activités j'ai posé ma question un peu vite . Ma préoccupation était la suivante :
On se donne deux entiers naturels non nuls $x$ et $y$ tels que $y$ soit premier avec $10$ . Peut-on toujours trouver deux entiers $y'$ et $x'$ ( multiple de $y'$ ) en concaténant un repunit ( pas forcément le même ) devant l'écriture décimale de $y$ et $x$ ?
Joyeuses fêtes à tous :-D
Domi
Ta question n'est pas très claire, pour moi en tout cas. Un exemple ?
On choisit par exemple $y=27$ (premier avec $10$) et $x= 502$ entier quelconque.
On considère ensuite $Y=\{27,127,1127,11127,111127,\ldots\}$ et $X=\{502,1502,11502,111502,1111502,\ldots\}$ .
Y a-t-il nécessairement un élément de $X$ multiple d'un élément de $Y$ ?
Il y a peut-être un contre-exemple évident mais il ne me vient pas à l'esprit (un peu encombré par les excès de Noël).
Domi.
Par exemple, si Y = 37 et X = 7, vu que le cycle 37 est court, aucun des nombres 7,17,117,1117,....ne peut diviser 37.
Alors évidemment, on doit bien pouvoir se rattraper sur 137, ou 1137. Ce serait bien étonnant que parmi tous les nombres 137, 1137, 111137,....on ne trouve aucun cycle long.
Maintenant, pour le prouver.....
Étant donné un nombre $y_0$ premier avec $10$ qu'on ajoute successivement des un à gauche pour avoir $\{y_i, i\ge 0\}$ alors n'importe quel nombre premier avec $10$ est un facteur d'au moins un $y_i$?
Étant donné un nombre $y$ premier avec $10$, un nombre $x_0$ qu'on ajoute successivement des un à gauche pour avoir $\{x_i, i\ge 0\}$ alors au moins un nombre $x_i$ est un multiple de $y$?
Edit les deux sont faux voir exemple Nodgim Et Domi
Joyeuses fêtes.
Il me semble que ta première proposition est vraie pour les repunits ( c'est à dire quand $y_0=1$ ) . Pour les autres $y_0$ , il faut voir .
Ta deuxième proposition est fausse comme le montre l'exemple de Nodgim .
Domi
On considère $y=37$ premier avec $10$ et $x_0=7$ . Alors tout entier $x_i=11\cdots117$ est congru à $6,7$ ou $17$ modulo $37$ , il n'est donc jamais divisible par $y=37$ .
Domi
Domi