Nombre sans zéro
dans Arithmétique
Choisissons un entier non multiple de $10$, tel que la somme de ses chiffres soit $9$. Divisons le par $9$. On constate que le résultat s'écrit sans le chiffre $0$. Un exemple :
Réponses
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Rappelons que dans tout nombre entier, l’écriture décimale contient le chiffre zéro...et même une infinité.
Certes c’est une taquinerie mais avec un fond de vérité. -
Ou encore $101 \times 9$.
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Soit $n$ l'entier de départ. Si $n/9$ possédait un zéro, il serait égal à $10^{m+1}A+B$ où $A$ et $B$ sont des entiers naturels avec $B<10^m$. Alors l'écriture décimale de $n$ serait $CD$ où $C$ est l'écriture décimale de $9A$, et $D$ l'écriture décimale avec $m+1$ chiffres de $9B$.
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Autant pour moi, j'ai associé "somme des chiffres égale à 9" et "divisible par 9". B-)-
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Ha ! Tout raté pour moi aussi.
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Et on peut le démontrer.
Si $n$ est un entier non multiple de 10, contenant le chiffre 0, on peut le découper entre la partie à gauche du 0 (notée g) et celle à droite du 0 (notée d).
Quand on multiplie n par 9, on multiplie g et d par 9 ... et on concatène les résultats. Il n'y a pas chevauchement, pas de retenue suffisante pour que 9d 'empiette' sur le calcul de 9g.
La somme des chiffres de 9d donne 9 ou un multiple de 9 ; idem pour 9g.
La somme des chiffres de 9n vaut donc au moins 18.
Donc la somme des chiffres de 9n ne peut pas donner n, dès que n contient le chiffre 0 (et n non multiple de 10).Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
Bravo Jlt et Lourran.
Ma preuve reposait sur le fait que les chiffres de $n/9$ étaient placés en ordre croissant.
Voir http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?9,534759,1147355#msg-1147355 -
Cette particularité n'est pas limitée à la division par 9.
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@ nodgim
Cela n'est pas valable pour la division par $7$ : $11221=7\times 1603$. -
Peut-être peut-on tenter une généralisation selon la base d’écriture ?
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Oui, aucun doute.
La preuve par 9 marche dans toutes les bases... ça suffit pour démontrer la propriété.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
Et la division par 3 ?
Si la somme des chiffres d'un nombre est 3, sa division par 3 n'aura des zéros éventuels qu'à droite. -
Si la somme des chiffres d’un nombre $n$, non multiple de $10$, vaut $18$, alors les éventuels $0$ de $n/9$ sont consécutifs.
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Et on va tout de suite le généraliser à une base $b$ quelconque.
Soit $b$ un entier supérieur ou égal à $2$, soit $n$ un entier, dont la somme des chiffres (écrit en base $b$) donne $2b-2$.
Alors $n$ est divisible par $b-1$, et les éventuels $0$ de $n/(b-1)$ (toujours écrit en base $b$) sont consécutifs.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
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