Rationalité de $\sqrt{2}$

Bonjour,
J'ai l'impression qu'il y a confusion entre "ratio" et "rationnel". Un ratio est un quotient de nombres (réels) tandis qu'un rationnel est un quotient d'entiers relatifs. Le "rationnel de $f(x)$ sur $g(x)$" n'a aucun sens.

Si $f$ est constante égale à $\sqrt{2}$ et $g$ est constante égale à 1, le ratio de $f(x)$ sur $g(x)$ tend vers $\sqrt{2}$ en $+\infty$.

On peut prendre $f(x)=\lfloor x\sqrt{2}\rfloor$ et $g(x)=\lfloor x\rfloor$ où $\lfloor .\rfloor$ designe la partie entière. On a alors $\frac{f(x)}{g(x)} \xrightarrow[x \rightarrow +\infty]{} \sqrt{2}$. En revanche on a jamais $\frac{f(x)}{g(x)}= \sqrt{2}$ dans cet exemple (et dans n'importe quel exemple ou $f$ et $g$ sont à valeurs entières).

Et si tu connais l'écriture décimale des nombres réels, on a évidemment, en notant $\sqrt 2 = a_0,a_1a_2a_3 \dots$, $$\sqrt 2 = \lim_{n \to +\infty} \frac{\sum_{k=0}^n a_k 10^{n-k}}{10^n}$$ (ça se rapproche des limites ci-dessus avec des parties entières bien sûr).

Heu ... très exactement un rapport (*). Mais le mot a des acceptions techniques dans certains domaines (finance, banque, ..) et a pas mal changé de signification au cours des siècles.

Cordialement.

(*) rapport entre deux quantités précisées.

Je propose un concours du plus grand ratio : nombre de fautes - nombre de lettres.
Voici un bon candidat :
« plus tot un truque come sa »

Fly7 a écrit:

""La limite de x tend vers""

Tu veux dire plutôt:

"x tend vers la limite"

Le verbe converger est utilisé dans un contexte de suites numériques.
La notion de limite ne concerne pas que les suites numériques.

Hum...
La suite que je propose n’est pas une suite avec l’irrationnel justement.
Ce sont juste des entiers au numérateur.
Oui, ce sont les premiers chiffres de l’écriture décimale de l’irrationnel.

Fly7:

Un nombre rationnel est un quotient de deux entiers (le dénominateur doit être non nul)
Un nombre irrationnel est un nombre qui n'est pas rationnel.

Il a fallu des siècles pour avoir une preuve correcte du fait que $\pi$ n'était pas un nombre rationnel (vers 1760).
Tandis qu'on savait depuis des siècles que $\sqrt{2}$ n'est pas un rationnel.

Un nombre algébrique est un nombre qui est racine d'un polynôme à coefficients entiers.
Un nombre transcendant est un nombre qui n'est pas algébrique.
Il a fallu encore plus de temps (fin du XIXème siècle) pour savoir que $\pi$ n'était pas algébrique qu'il n'en a fallu pour savoir que $\pi$ n'était pas rationnel.

Il existe un tas de nombres utiles en analyse dont on ne connait pas la nature (algébriques? transcendants? irrationnels?)
Si tu démontres que la constante d'Euler ou la constante de Catalan sont irrationnels ton nom passera à la postérité*. B-)-

NB:
La notion de nombre algébrique est une généralisation de la notion de nombre rationnel.
$a/b$ est solution de l'équation $bx-a=0$

*: M'est avis qu'on verra une démonstration de l'irrationalité de la constante de Catalan avant 30 ans.

LP:

Tu peux lire https://fr.wikipedia.org/wiki/Méthode_chakravala

Tu n'as pas tort, ce truc tourne en rond.

On peut toutefois essayer de faire appel aux fractions continuées dont la théorie donne le résultat suivant :

Soit $d \in \mathbb{N}^*$ non carré, $\alpha = \sqrt d$ et on définit la suite $(\alpha_n)$ par $\alpha_0 = \alpha$ et $\alpha_{n+1} = \{ \alpha_n \}^{-1}$, où $\{t\}$ désigne la partie fractionnaire. Alors, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, il existe deux entiers $P_n$ et $Q_n$ tels que $\alpha_n = Q_n^{-1} (P_n + \alpha)$ et $d \equiv P_n^2 \pmod{Q_n}$.

La démonstration de ce résultat peut se faire par récurrence, et ne nécessite pas de connaître l'irrationalité de $\sqrt d$ à l'avance.

Là où ça coince, c'est le corollaire suivant qui, lui, l'utilise : si $p_n/q_n$ est une réduite de la fraction continuée de $\sqrt d$ avec $n \geqslant 2$, alors $p_{n-1} -d^2 q_{n-1} = (-1)^n Q_n$.

Ceci dit, l'exercice plus haut peut certainement être traité avec des valeurs fixées de $n$ (par exemple $n=7$ pour laquelle il n'y a pas besoin de savoir que $\sqrt 7$ est irrationel pour vérifier que $(8,3)$ est solution.).

Soyons charitables et disons que c'est volontaire...

Pour répondre à une objection qu'on m'a signalée:
Dans la preuve que j'ai donnée plus haut de l'irrationalité de $\sqrt{2}$ j'aurais dû être plus pédagogique. B-)-

On définit $\alpha=\sqrt{2}-1$.
On montre (sans calculatrice) que ce nombre est tel que $0<\alpha<1$.

On définit une suite $(u_n)$ pour tout $n$ entier naturel par $u_n=\alpha^n$.

Par récurrence on montre (aisément) qu'il existe deux suites $(a_n),(b_n)$ d'entiers tels que: $u_n=a_n+b_n\sqrt{2}$ pour tout $n$ entier naturel.

$\sqrt{2}$ est un nombre réel strictement positif. Si c'est un nombre rationnel alors il existe $a,b$ des entiers naturels non nuls tels que $\sqrt{2}=\dfrac{a}{b}$

On suppose que $\sqrt{2}=\dfrac{a}{b}$ avec $a,b$ des entiers naturels non nuls.

On définit la suite $\beta_n=\left|b\alpha^n\right|$ pour tout $n$ entier naturel.
C'est la suite obtenue en prenant la valeur absolue des termes d'une suite géométrique de raison comprise strictement entre $0$ et $1$.
Aucun des termes de cette suite n'est nul puisque ni $\alpha$ n'est nul, ni $b$.

Puisque $\alpha^n=a_n+b_n\sqrt{2}$ pour tout $n$ entier naturel alors $\displaystyle \beta_n=\left|b(a_n+b_n\sqrt{2})\right|=\left|ba_n+b\times \frac{a}{b}\times b_n\right|=\left|ba_n+ab_n\right|$
Donc la quantité $\beta_n$ est un entier naturel non nul pour tout $n$ entier.

Or, puisque $0<\alpha<1$, $\lim \beta_n=0$ ce qui fait que pour un $n$ assez grand on a que l'entier $\beta_n$ est compris strictement entre $0$ et $1$ c'est une contradiction. La supposition faite que $\sqrt{2}$ était un rationnel est donc fausse.

Gai requin:

Tu n'as pas la passion de collectionner des timbres probablement*.
Pour quelqu'un qui ne collectionne pas les timbres, tous les timbres se ressemblent, ils ressemblent au timbre ordinaire en vente dans tous les bureaux de poste. Le timbre ordinaire, dans le contexte, c'est la démonstration que tu as donnée de l'irrationalité de $\sqrt{2}$ (c'est une conséquence). B-)

*: La revue American mathematical monthly fourmille de preuves alternatives d'un résultat dont beaucoup de gens ont en tête une preuve classique. Il y a un public pour ça, on s'amuse comme on veut/peut. B-)

Parfois des preuves alternatives deviennent célèbres, aussi célèbres que la preuve initiale. (voir TNP)

Je veux bien que l’on dise que c’est en peu de mots.
Cependant, se cachent des choses comme la définition du PGCD, puis les quelques premiers théorèmes à son sujet...

Ainsi, le « peu de mots » me semble abusif.

En admettant l'unicité de l'écriture sous forme irréductible et le fait que si $a\wedge b=1$ alors $a^2\wedge b^2=1$ alors il y a encore plus court : $n=\frac{a^2}{b^2}$ donc $\frac{n}{1}=\frac{a^2}{b^2}$ donc $n=a^2$ (et $b^2=1$).

Gai Requin:

Comme le fait remarquer Dom tu planques beaucoup de trucs.
Ceux qui savent ce que tu planques connaissent aussi une preuve de ton résultat et dès lors ils n'ont pas besoin de cette preuve.
D'une certaine façon tu utilises des "néologismes mathématiques" pour avoir à écrire moins de symboles.
Ceux qui connaissent la signification de ces "néologismes" comprennent ton propos, les autres se grattent la tête d'incompréhension.

En définitive, la preuve que tu donnes est très proche de la très classique preuve de l'irrationalité de $\sqrt{2}$.
(celle que j'ai indiquée plus haut est très différente, elle s'inscrit dans une méthode standard de preuve quand on cherche à montrer l'irrationalité d'un nombre:
on construit une suite à partir du nombre dont on cherche à prouver l'irrationalité d'un nombre $\alpha$ qui est une suite d'entiers strictement positifs inférieurs à $1$ en supposant que $\alpha$ est un rationnel et on aboutit donc à une contradiction. Cela permet de démontrer que $\pi,\text{e}$ sont irrationnels)

PS:
Un certain nombre de preuves "alternatives" qu'on voit parfois dans l'AMM utilisent la même ficelle.
On écrit une preuve classique dans sous forme d'un succession de "néologismes mathématiques"
(des boîtes qui permettent de cacher plein de trucs qui si on les développait augmenteraient la taille de la démonstration)

PS2:
Comme indiqué plus haut, on s'amuse comme on veut/peut et il n'y a rien de péjoratif dans mon propos.

Ce que pointent les gens, c'est que ce que tu viens d'expliciter est (plus général mais) aussi compliqué que l'argument « si $2q^2=p^2$, alors $p$ est pair donc $q$ aussi ». En fait, c'est essentiellement la même chose, quoi.

@gai requin
Prouver l'existence et l'unicité la factorisation d'un entier
est un grrooos truc, avec le lemme de Gauss etc.
(par exemple : tout entier $\neq 1$ a un diviseur premier)
d'où l'intérêt de Bezout.