Matrice des restes

En réfléchissant un peu au problème posé par Al-Kashi ici aujourd'hui, j'ai fini par dessiner cette matrice dans Excel :

$\begin{bmatrix}
0&0&{\color{red}0}&{\color{red}0}&{\color{red}0}&{\color{red}0}&{\color{red}0}&{\color{red}0}&{\color{red}0}&{\color{red}0}&{\color{red}0}&{\color{red}0}&{\color{red}0}&{\color{red}0}&{\color{red}0}&{\color{red}0}&{\color{red}0}&{\color{red}0}&{\color{red}0}&{\color{red} 0} \\
0&0&1&{\color{red}0}&{\color{red}1}&{\color{red}0}&{\color{red}1}&{\color{red}0}&{\color{red}1}&{\color{red}0}&{\color{red}1}&{\color{red}0}&{\color{red}1}&{\color{red}0}&{\color{red}1}&{\color{red}0}&{\color{red}1}&{\color{red}0}&{\color{red}1}&{\color{red}0} \\
0&0&0&1&2&{\color{red}0}&{\color{red}1}&{\color{red}2}&{\color{red}0}&{\color{red}1}&{\color{red}2}&{\color{red}0}&{\color{red}1}&{\color{red}2}&{\color{red}0}&{\color{red}1}&{\color{red}2}&{\color{red}0}&{\color{red}1}&{\color{red}2} \\
0&0&0&0&1&2&3&{\color{red}0}&{\color{red}1}&{\color{red}2}&{\color{red}3}&{\color{red}0}&{\color{red}1}&{\color{red}2}&{\color{red}3}&{\color{red}0}&{\color{red}1}&{\color{red}2}&{\color{red}3}&{\color{red}0} \\
0&0&0&0&0&1&2&3&4&{\color{red}0}&{\color{red}1}&{\color{red}2}&{\color{red}3}&{\color{red}4}&{\color{red}0}&{\color{red}1}&{\color{red}2}&{\color{red}3}&{\color{red}4}&{\color{red}0} \\
0&0&0&0&0&0&1&2&3&4&5&{\color{red}0}&{\color{red}1}&{\color{red}2}&{\color{red}3}&{\color{red}4}&{\color{red}5}&{\color{red}0}&{\color{red}1}&{\color{red}2} \\
0&0&0&0&0&0&0&1&2&3&4&5&6&{\color{red}0}&{\color{red}1}&{\color{red}2}&{\color{red}3}&{\color{red}4}&{\color{red}5}&{\color{red}6} \\
0&0&0&0&0&0&0&0&1&2&3&4&5&6&7&{\color{red}0}&{\color{red}1}&{\color{red}2}&{\color{red}3}&{\color{red}4} \\
0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&2&3&4&5&6&7&8&{\color{red}0}&{\color{red}1}&{\color{red}2} \\
0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&{\color{red}0} \\
0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9 \\
0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&2&3&4&5&6&7&8 \\
0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&2&3&4&5&6&7 \\
0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&2&3&4&5&6 \\
0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&2&3&4&5 \\
0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&2&3&4 \\
0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&2&3 \\
0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&2 \\
0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1 \\
0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \end{bmatrix}$

C'est la matrice dont le coefficient $a_{l,k}$ est $(k \mod l)$ si $k \geqslant l$ et $0$ sinon, ici tronquée à $l=k=20$.

Déjà, elle est triangulaire supérieure avec une diagonale nulle par définition.

Quand on lit le triangle supérieur ligne par ligne, rien de spécial : on lit, de façon cyclique, la liste dans l'ordre croissant des restes possibles dans la division euclidienne par $k$. Normal, vu la définition.

Par contre, si on lit la matrice verticalement, il se passe des petites choses. En lisant de bas en haut au-dessus de la diagonale, en regardant les colonnes de gauche à droite, on lit d'abord juste $0$, puis $1$ sur les colonnes $2$ et $3$, puis $1,2$ sur les deux colonnes suivantes, puis $1,2,3$ sur les deux colonnes suivantes, etc. Je pense qu'on peut trouver une explication en montrant que $(k \mod l)$ parcourt tous les nombres de $1$ à $E(l/2)$ quand $l \geqslant k/2$.

Par contre, en lisant verticalement les nombres dans les lignes d'indice $< k/2$, moi, je ne vois aucun schéma particulier qui ressort. Mais je ne suis pas arithméticien.

DONC ma question aux arithméticiens (:-D) : si l'on considère les suites finies des nombres en rouge dans ces colonnes, est-ce qu'il y a quelque chose de particulier qui se cache derrière ? Ça pourrait être amusant de chercher, mais comme je n'y connais rien, je ne sais pas trop quoi regarder.

Les premières suites finies :
- $0$
- $0,0$
- $1,0$
- $0,0,0$
- $1,1,0$
- $0,2,0,0$
- $1,0,1,0$
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