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Matrice des restes

Envoyé par Homo Topi 
Matrice des restes
il y a sept semaines
En réfléchissant un peu au problème posé par Al-Kashi ici aujourd'hui, j'ai fini par dessiner cette matrice dans Excel :

$\begin{bmatrix}
0&0&{\color{red}0}&{\color{red}0}&{\color{red}0}&{\color{red}0}&{\color{red}0}&{\color{red}0}&{\color{red}0}&{\color{red}0}&{\color{red}0}&{\color{red}0}&{\color{red}0}&{\color{red}0}&{\color{red}0}&{\color{red}0}&{\color{red}0}&{\color{red}0}&{\color{red}0}&{\color{red} 0} \\
0&0&1&{\color{red}0}&{\color{red}1}&{\color{red}0}&{\color{red}1}&{\color{red}0}&{\color{red}1}&{\color{red}0}&{\color{red}1}&{\color{red}0}&{\color{red}1}&{\color{red}0}&{\color{red}1}&{\color{red}0}&{\color{red}1}&{\color{red}0}&{\color{red}1}&{\color{red}0} \\
0&0&0&1&2&{\color{red}0}&{\color{red}1}&{\color{red}2}&{\color{red}0}&{\color{red}1}&{\color{red}2}&{\color{red}0}&{\color{red}1}&{\color{red}2}&{\color{red}0}&{\color{red}1}&{\color{red}2}&{\color{red}0}&{\color{red}1}&{\color{red}2} \\
0&0&0&0&1&2&3&{\color{red}0}&{\color{red}1}&{\color{red}2}&{\color{red}3}&{\color{red}0}&{\color{red}1}&{\color{red}2}&{\color{red}3}&{\color{red}0}&{\color{red}1}&{\color{red}2}&{\color{red}3}&{\color{red}0} \\
0&0&0&0&0&1&2&3&4&{\color{red}0}&{\color{red}1}&{\color{red}2}&{\color{red}3}&{\color{red}4}&{\color{red}0}&{\color{red}1}&{\color{red}2}&{\color{red}3}&{\color{red}4}&{\color{red}0} \\
0&0&0&0&0&0&1&2&3&4&5&{\color{red}0}&{\color{red}1}&{\color{red}2}&{\color{red}3}&{\color{red}4}&{\color{red}5}&{\color{red}0}&{\color{red}1}&{\color{red}2} \\
0&0&0&0&0&0&0&1&2&3&4&5&6&{\color{red}0}&{\color{red}1}&{\color{red}2}&{\color{red}3}&{\color{red}4}&{\color{red}5}&{\color{red}6} \\
0&0&0&0&0&0&0&0&1&2&3&4&5&6&7&{\color{red}0}&{\color{red}1}&{\color{red}2}&{\color{red}3}&{\color{red}4} \\
0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&2&3&4&5&6&7&8&{\color{red}0}&{\color{red}1}&{\color{red}2} \\
0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&{\color{red}0} \\
0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9 \\
0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&2&3&4&5&6&7&8 \\
0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&2&3&4&5&6&7 \\
0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&2&3&4&5&6 \\
0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&2&3&4&5 \\
0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&2&3&4 \\
0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&2&3 \\
0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&2 \\
0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1 \\
0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \end{bmatrix}$

C'est la matrice dont le coefficient $a_{l,k}$ est $(k \mod l)$ si $k \geqslant l$ et $0$ sinon, ici tronquée à $l=k=20$.

Déjà, elle est triangulaire supérieure avec une diagonale nulle par définition.

Quand on lit le triangle supérieur ligne par ligne, rien de spécial : on lit, de façon cyclique, la liste dans l'ordre croissant des restes possibles dans la division euclidienne par $k$. Normal, vu la définition.

Par contre, si on lit la matrice verticalement, il se passe des petites choses. En lisant de bas en haut au-dessus de la diagonale, en regardant les colonnes de gauche à droite, on lit d'abord juste $0$, puis $1$ sur les colonnes $2$ et $3$, puis $1,2$ sur les deux colonnes suivantes, puis $1,2,3$ sur les deux colonnes suivantes, etc. Je pense qu'on peut trouver une explication en montrant que $(k \mod l)$ parcourt tous les nombres de $1$ à $E(l/2)$ quand $l \geqslant k/2$.

Par contre, en lisant verticalement les nombres dans les lignes d'indice $< k/2$, moi, je ne vois aucun schéma particulier qui ressort. Mais je ne suis pas arithméticien.

DONC ma question aux arithméticiens (grinning smiley) : si l'on considère les suites finies des nombres en rouge dans ces colonnes, est-ce qu'il y a quelque chose de particulier qui se cache derrière ? Ça pourrait être amusant de chercher, mais comme je n'y connais rien, je ne sais pas trop quoi regarder.

Les premières suites finies :
- $0$
- $0,0$
- $1,0$
- $0,0,0$
- $1,1,0$
- $0,2,0,0$
- $1,0,1,0$
...

“Les mathématiques ne connaissent ni races, ni frontières géographiques. Pour les mathématiques, le monde de la culture est un seul et même pays.” - David Hilbert



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a sept semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Homo Topi.
Re: Matrice des restes
il y a sept semaines
Si tu les regardes verticalement, c'est vrai que c'est compliqué, mais si tu les regardes horizontalement, ça devrait aller ! hot smiley

Et puis, je ne pense pas que ce soit une très bonne idée de mettre artificiellement des 0 dans le triangle en bas à gauche.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a sept semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par marsup.
Re: Matrice des restes
il y a sept semaines
Je sais, je l'ai même dit dans mon message, ce n'est pas la question grinning smiley

“Les mathématiques ne connaissent ni races, ni frontières géographiques. Pour les mathématiques, le monde de la culture est un seul et même pays.” - David Hilbert
Re: Matrice des restes
il y a sept semaines
Bah si en fait c'est la question grinning smiley
Re: Matrice des restes
il y a sept semaines
Pour le triangle inférieur... ça rajoute juste des $n$ dans la moitié inférieure de la $n$-ième colonne, je ne sais pas si c'est très utile.

“Les mathématiques ne connaissent ni races, ni frontières géographiques. Pour les mathématiques, le monde de la culture est un seul et même pays.” - David Hilbert
Re: Matrice des restes
il y a sept semaines
Je ne comprends pas où tu veux en venir...

“Les mathématiques ne connaissent ni races, ni frontières géographiques. Pour les mathématiques, le monde de la culture est un seul et même pays.” - David Hilbert
Re: Matrice des restes
il y a sept semaines
Bon je vais répondre sur l'autre fil.
Re: Matrice des restes
il y a sept semaines
L'avantage avec les $0$ en-dessous de la diagonale, c'est que quand on fait la somme des coefficients dans une colonne, ça donne la somme des $(k)_l$ qui intervient dans le problème de l'autre fil, je pense que c'est pour ça que j'ai fait comme ça.

“Les mathématiques ne connaissent ni races, ni frontières géographiques. Pour les mathématiques, le monde de la culture est un seul et même pays.” - David Hilbert
Re: Matrice des restes
il y a sept semaines
Bon, donc marsup ne répondait effectivement pas à ma question.

Si quelqu'un d'autre a de la science à m'apporter, je suis tout ouïe.

“Les mathématiques ne connaissent ni races, ni frontières géographiques. Pour les mathématiques, le monde de la culture est un seul et même pays.” - David Hilbert
Re: Matrice des restes
il y a sept semaines
Je pense qu'il n'y a rien de très simple et intéressant (les deux à la fois !) à dire de la suite
$n \mapsto a \mod n$, pour $a\in\N$ fixé.

Si je te dis que $a$ est congru à $104$ modulo $198234$, que peux-tu m'apprendre de $a$ modulo $198235$ ? (rien !)
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