Un autre modèle pour les nombres premiers
dans Arithmétique
$\renewcommand{\gcd}{\mathrm{pgcd\,}}$Bonjour
Soit $x \in \mathbb{R}_+$.
On considère l'ensemble suivant : $$
\mathcal{A}{'}(x)=\{(a_1, a_2, \ldots, a_k) \in \mathbb{P}^k \mid a_k \leqslant x\},
$$ avec $a_1 < a_2 < \cdots < a_k$ vérifient quelques propriétés.
Exemple1: pour $n$ pair : $\mathcal{A}{'}(n)=\{ (p,n-p)\in\mathbb{P}^2 \, | \, p \leqslant n \}$.
Exemple2: $\mathcal{A}{'}(x)=\{ p=n^2+1\in\mathbb{P} \mid p \leqslant x \}$
Soit $\mathcal{A}(x) = \#\mathcal{A}{'}(x)$.
Le problème classique (et non résolu) est de prouver que pour $x \to +\infty$ on a $\mathcal{A}(x) \to +\infty$ (pour des tuples $(a_1,a_2,\cdots,a_k)$ admissibles).
Un autre problème plus compliqué c'est d’estimer $\mathcal{A}(x)$ pour $x \to +\infty$.
La première méthode utilisée pour cela est la méthode du cercle qui donne des densités valide numériquement.
Puis on trouve le modèle aléatoire des nombres premiers premiers.
Je propose un autre modèle:
Pour un nombre premier $q$, on considère l'ensemble: $\mathcal{B}_q = \{ b \in \mathbb{N} \mid \gcd(b, { \prod\limits_{\substack{p \leq q \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}})=1\}.$
Soit $x \geqslant { \prod\limits_{\substack{p \leq q \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}}$ on considère l'ensemble : $$
\mathcal{S}{'}(x, q)=\{ (a_1, a_2,\ldots,a_k)\in\mathcal{B}_q^k \mid a_k \leqslant x \}.
$$ avec $a_1 < a_2 < \cdots < a_k$ vérifient les memes propriétés que l'ensemble $\mathcal{A}{'}(x)$.
Et soit $\mathcal{S}(x, q) = \#\mathcal{S}{'}(x, q).$
En utilisant le théorème des restes chinois on a : $$
\mathcal{S}\Big({ \prod\limits_{\substack{p \leq q \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}}, q\Big)=R_q.
$$ Soit $q(x)$ le plus grand nombre premier qui vérifie $x \geqslant { \prod\limits_{\substack{p \leq q(x) \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}}.$
Soit $\mathcal{S}(x) = \mathcal{S}(x, q(x)).$
Théorème: $$ \mathcal{S}(x) \underset{x \to +\infty}\sim \dfrac{x}{{ \prod\limits_{\substack{p \leq q(x) \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}}} \ R_{q(x)}.
$$ Conjecture: $$ \begin{array}{rcl}
\mathcal{S}(x) & \underset{x \to +\infty}\sim & \mathcal{A}(x) \big( \pi(q(x)) e^{-\gamma} \big)^k \\
&\underset{x\to+\infty} \sim & \mathcal{A}(x) \dfrac{\log(x)^k}{\log(\log(x))^k}e^{- k \gamma} .
\end{array}
$$ Ou encore : $$
\mathcal{A}(x) \underset{x \to +\infty}\sim \dfrac{x}{{ \prod\limits_{\substack{p \leq q(x) \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}}} \ R_{q(x)} \dfrac{\log(\log(x))^k}{\log(x)^k}e^{k \gamma}.
$$Exemple1:
$\mathcal{A}{'}(x) = \{a \in \mathbb{P} \mid a \leqslant x\}$
On a $\mathcal{S}{'}(x, q)=\{ a\in\mathcal{B}_q \mid a \leqslant x \}$, et $\mathcal{S}({ \prod\limits_{\substack{p \leq q \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}}, q)={ \prod\limits_{\substack{p \leq q \\ \text{p premier}}} {\normalsize (p-1)}} .$
D'aprés la conjecture: $$
\begin{array}{rcl}
\mathcal{A}(x) & \sim & \dfrac{x}{\displaystyle{\small \prod_{\substack{p \leq q(x) \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}}} \ { \prod\limits_{\substack{p \leq q(x) \\ \text{p premier}}} {\normalsize (p-1)}} \dfrac{\log(\log(x))}{\log(x)}e^{\gamma} \\
& \sim & x \displaystyle{\small \prod_{\substack{p \leq q(x) \\ \text{p premier}}} {\normalsize \left(1-\frac{1}{p}\right)}} \dfrac{\log(\log(x))}{\log(x)}e^{\gamma} \\
& \sim & x \dfrac{e^{-\gamma}}{\log(q(x))} \dfrac{\log(\log(x))}{\log(x)}e^{\gamma} \\
& \sim & x \dfrac{e^{-\gamma}}{\log(\log(x))} \dfrac{\log(\log(x))}{\log(x)}e^{\gamma} \\
& \sim & \dfrac{x}{\log(x)}.
\end{array}
$$ Exemple2:
On considère le $k$-uple: $\mathcal{H}_k = (0,h_1,h_2,\ldots,h_{k-1})$ avec $0 < h_1 < \cdots < h_{k-1}.$
Soit $\mathcal{A}{'}(x) = \{(p,p+h_1,\ldots,p+h_{k-1})\in \mathbb{P}^k \mid p+h_{k-1} \leqslant x\}.$
On a $\mathcal{S}{'}(x, q) = \{(b,b+h_1,\ldots,b+h_{k-1})\in \mathcal{B}_{q}^k \mid b+h_{k-1} \leq x\}.$
D'après le théorème des restes chinois $\mathcal{S}({ \prod\limits_{\substack{p \leq q \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}}, q)={ \prod\limits_{\substack{p \leq q \\ \text{p premier}}} {\normalsize (p-w(\mathcal{H}_k, p))}}.$
Avec $w(\mathcal{H}_k, p)$ est le nombre des classes différentes $\pmod{p}$ dans $\mathcal{H}_k$, donc : $$
\begin{array}{rcl}
\mathcal{A}(x) & \sim & \dfrac{x}{{ \prod\limits_{\substack{p \leq q(x) \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}}} \ { \prod\limits_{\substack{p \leq q(x) \\ \text{p premier}}} {\normalsize (p-w(\mathcal{H}_k, p))}} \dfrac{\log(\log(x))^k}{\log(x)^k}e^{k \gamma} \\
& \sim & x { \prod\limits_{\substack{p \leq q(x) \\ \text{p prime}}} {\left(\normalsize 1-\dfrac{w(\mathcal{H}_k, p)}{p}\right)}} \dfrac{\log(\log(x))^k}{\log(x)^k}e^{k \gamma} \\
& \sim & x \, e^{-\gamma k} \, \dfrac{\mathcal{G}_k }{\log(\log(x))^k} \dfrac{\log(\log(x))^k}{\log(x)^k}e^{k \gamma} \\
& \sim & \mathcal{G}_k \dfrac{x}{\log(x)^k}.
\end{array}
$$ Avec $\mathcal{G}_k = \displaystyle \prod_{\text{p premier}}\frac{1-\frac{w(\mathcal{H}_k, p)}{p}}{(1-\frac1p)^{k}}$
Soit $x \in \mathbb{R}_+$.
On considère l'ensemble suivant : $$
\mathcal{A}{'}(x)=\{(a_1, a_2, \ldots, a_k) \in \mathbb{P}^k \mid a_k \leqslant x\},
$$ avec $a_1 < a_2 < \cdots < a_k$ vérifient quelques propriétés.
Exemple1: pour $n$ pair : $\mathcal{A}{'}(n)=\{ (p,n-p)\in\mathbb{P}^2 \, | \, p \leqslant n \}$.
Exemple2: $\mathcal{A}{'}(x)=\{ p=n^2+1\in\mathbb{P} \mid p \leqslant x \}$
Soit $\mathcal{A}(x) = \#\mathcal{A}{'}(x)$.
Le problème classique (et non résolu) est de prouver que pour $x \to +\infty$ on a $\mathcal{A}(x) \to +\infty$ (pour des tuples $(a_1,a_2,\cdots,a_k)$ admissibles).
Un autre problème plus compliqué c'est d’estimer $\mathcal{A}(x)$ pour $x \to +\infty$.
La première méthode utilisée pour cela est la méthode du cercle qui donne des densités valide numériquement.
Puis on trouve le modèle aléatoire des nombres premiers premiers.
Je propose un autre modèle:
Pour un nombre premier $q$, on considère l'ensemble: $\mathcal{B}_q = \{ b \in \mathbb{N} \mid \gcd(b, { \prod\limits_{\substack{p \leq q \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}})=1\}.$
Soit $x \geqslant { \prod\limits_{\substack{p \leq q \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}}$ on considère l'ensemble : $$
\mathcal{S}{'}(x, q)=\{ (a_1, a_2,\ldots,a_k)\in\mathcal{B}_q^k \mid a_k \leqslant x \}.
$$ avec $a_1 < a_2 < \cdots < a_k$ vérifient les memes propriétés que l'ensemble $\mathcal{A}{'}(x)$.
Et soit $\mathcal{S}(x, q) = \#\mathcal{S}{'}(x, q).$
En utilisant le théorème des restes chinois on a : $$
\mathcal{S}\Big({ \prod\limits_{\substack{p \leq q \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}}, q\Big)=R_q.
$$ Soit $q(x)$ le plus grand nombre premier qui vérifie $x \geqslant { \prod\limits_{\substack{p \leq q(x) \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}}.$
Soit $\mathcal{S}(x) = \mathcal{S}(x, q(x)).$
Théorème: $$ \mathcal{S}(x) \underset{x \to +\infty}\sim \dfrac{x}{{ \prod\limits_{\substack{p \leq q(x) \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}}} \ R_{q(x)}.
$$ Conjecture: $$ \begin{array}{rcl}
\mathcal{S}(x) & \underset{x \to +\infty}\sim & \mathcal{A}(x) \big( \pi(q(x)) e^{-\gamma} \big)^k \\
&\underset{x\to+\infty} \sim & \mathcal{A}(x) \dfrac{\log(x)^k}{\log(\log(x))^k}e^{- k \gamma} .
\end{array}
$$ Ou encore : $$
\mathcal{A}(x) \underset{x \to +\infty}\sim \dfrac{x}{{ \prod\limits_{\substack{p \leq q(x) \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}}} \ R_{q(x)} \dfrac{\log(\log(x))^k}{\log(x)^k}e^{k \gamma}.
$$Exemple1:
$\mathcal{A}{'}(x) = \{a \in \mathbb{P} \mid a \leqslant x\}$
On a $\mathcal{S}{'}(x, q)=\{ a\in\mathcal{B}_q \mid a \leqslant x \}$, et $\mathcal{S}({ \prod\limits_{\substack{p \leq q \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}}, q)={ \prod\limits_{\substack{p \leq q \\ \text{p premier}}} {\normalsize (p-1)}} .$
D'aprés la conjecture: $$
\begin{array}{rcl}
\mathcal{A}(x) & \sim & \dfrac{x}{\displaystyle{\small \prod_{\substack{p \leq q(x) \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}}} \ { \prod\limits_{\substack{p \leq q(x) \\ \text{p premier}}} {\normalsize (p-1)}} \dfrac{\log(\log(x))}{\log(x)}e^{\gamma} \\
& \sim & x \displaystyle{\small \prod_{\substack{p \leq q(x) \\ \text{p premier}}} {\normalsize \left(1-\frac{1}{p}\right)}} \dfrac{\log(\log(x))}{\log(x)}e^{\gamma} \\
& \sim & x \dfrac{e^{-\gamma}}{\log(q(x))} \dfrac{\log(\log(x))}{\log(x)}e^{\gamma} \\
& \sim & x \dfrac{e^{-\gamma}}{\log(\log(x))} \dfrac{\log(\log(x))}{\log(x)}e^{\gamma} \\
& \sim & \dfrac{x}{\log(x)}.
\end{array}
$$ Exemple2:
On considère le $k$-uple: $\mathcal{H}_k = (0,h_1,h_2,\ldots,h_{k-1})$ avec $0 < h_1 < \cdots < h_{k-1}.$
Soit $\mathcal{A}{'}(x) = \{(p,p+h_1,\ldots,p+h_{k-1})\in \mathbb{P}^k \mid p+h_{k-1} \leqslant x\}.$
On a $\mathcal{S}{'}(x, q) = \{(b,b+h_1,\ldots,b+h_{k-1})\in \mathcal{B}_{q}^k \mid b+h_{k-1} \leq x\}.$
D'après le théorème des restes chinois $\mathcal{S}({ \prod\limits_{\substack{p \leq q \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}}, q)={ \prod\limits_{\substack{p \leq q \\ \text{p premier}}} {\normalsize (p-w(\mathcal{H}_k, p))}}.$
Avec $w(\mathcal{H}_k, p)$ est le nombre des classes différentes $\pmod{p}$ dans $\mathcal{H}_k$, donc : $$
\begin{array}{rcl}
\mathcal{A}(x) & \sim & \dfrac{x}{{ \prod\limits_{\substack{p \leq q(x) \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}}} \ { \prod\limits_{\substack{p \leq q(x) \\ \text{p premier}}} {\normalsize (p-w(\mathcal{H}_k, p))}} \dfrac{\log(\log(x))^k}{\log(x)^k}e^{k \gamma} \\
& \sim & x { \prod\limits_{\substack{p \leq q(x) \\ \text{p prime}}} {\left(\normalsize 1-\dfrac{w(\mathcal{H}_k, p)}{p}\right)}} \dfrac{\log(\log(x))^k}{\log(x)^k}e^{k \gamma} \\
& \sim & x \, e^{-\gamma k} \, \dfrac{\mathcal{G}_k }{\log(\log(x))^k} \dfrac{\log(\log(x))^k}{\log(x)^k}e^{k \gamma} \\
& \sim & \mathcal{G}_k \dfrac{x}{\log(x)^k}.
\end{array}
$$ Avec $\mathcal{G}_k = \displaystyle \prod_{\text{p premier}}\frac{1-\frac{w(\mathcal{H}_k, p)}{p}}{(1-\frac1p)^{k}}$
Réponses
-
Lagrida a écrit:Le problème classique (et non résolu) est de prouver que l'ensemble $\mathcal A'(x)$ possède une infinité d'éléments pour $x \to +\infty$ (pour des $a_i$ admissibles).
Dès cette phrase ça n'a aucun sens. Ça veut dire quoi qu'un ensemble a une infinité d'éléments quand $x$ tend vers l'infini ? Si ça veut dire que son cardinal tend vers l'infini quand $x$ tend vers l'infini, c'est évident ici. Je soupçonne que tu n'aies pas écrit l'ensemble $\mathcal A'(x)$ auquel tu pensais vraiment... -
@Poirot
J'avoue que je n'ai pas bien formulé cette phrase, mais je pense que le sens est clair.
En effet, il faut dire que pour $x \to +\infty$ on a $\mathcal{A}(x) \to +\infty$.
L'ensemble $\mathcal{A}{'}(x)$ contient des tuples qui vérifient certaines propriétés et n’excèdent pas $x$.Poirot a écrit:Si ça veut dire que son cardinal tend vers l'infini quand $x$ tend vers l'infini, c'est évident ici.
Pour quoi il est évident ? Exemple $\mathcal{A}{'}(x)=\{(p,p+2)\in\mathbb{P}^2 \mid p+2 \leqslant x\}$. -
Ton ensemble $\mathcal A'(x)$ désigne l'ensemble des $k$-uplets ordonnés de nombres premiers dont le plus grand élément est plus petit que $x$. Avec cette définition, il est clair que $|\mathcal A'(p_n)| \geq n$ dès que $n \geq k$ (et où $p_n$ désigne le $n$-ième nombre premier).
-
Mais enfin ce que tu écris ne veut rien dire ! Tu ne peux pas définir un ensemble avec des accolades en rajoutant des conditions hors de cette écriture ! C'était déjà limite dans ton tout premier message de préciser "avec $a_1 < a_2 < \dots < a_k$" à côté. C'était encore moins clair que tu imposais d'autres conditions (je me doute que tu voulais parler de $k$-uples de premiers à l'aide d'un ensemble admissible).
Dans ton dernier exemple tu devrais écrire $\mathcal A'(x) = \{(a_1, a_2) \in \mathbb P^2 \mid a_2=a_1+x \text{ et } a_2 \leq x\}$. Avec cette écriture, on est d'accord qu'il n'est pas évident que $\lim_{x \to +\infty} |\mathcal A'(x)| = +\infty$. -
Heu Lagrida t'as oublié de dire que $h_k=a_{k}-a_0$ est fixé, on choisit $a_0$ premier comme on veut mais ensuite il faut que tous les $a_0+h_k$ soient premiers et on compte le nombre de solutions $\le x$.
C'est donc la généralisation de la conjecture sur la densité des premiers jumeaux.
Dans N posts sur le sujets on a dit que si on remplace "premier $\le x$ " par "$\le x$ et premier avec $x$" alors c'est un problème trivial avec le théorème des restes chinois.
Tu as déjà répété dans ces N posts que tu conjecturais que les deux problèmes donnaient des estimations asymptotiquement équivalentes en conjecturant donc que les solutions du problème trivial étaient réparties à peu près uniformément dans $[0,x]$ ce qui implique qu'on peut l'utiliser pour estimer le nombre de solutions dans $[0,(\log x)^2]$ (en prenant $x$ un primorial, $n$ est premier $\le (\log x)^2$ ssi $\gcd(x,n)=1$)
Et ?
Oui le modèle aléatoire (uniforme indépendant) des nombres premiers c'est pareil que de supposer qu'on peut raisonner modulo $\prod_{p\le m} p$ pour comprendre la distribution des premiers $\le m$ qui satisfont telle équation linéaire ou polynomiale. -
La question de la méthode du cercle est intéressante : je ne sais pas si c'est vrai que pour la conjecture $k$-upple (celle dont tu parles qui généralise les premiers jumeaux) le modèle aléatoire c'est pareil que de supposer que l'intégrale sur les "major arcs" domine l'intégrale sur les "minor arcs".
Peux-tu définir à partir de $f(z)= \sum_p e^{izp}$ l'intégrale qui donne le nombre de nombres premiers jumeaux $\le x$, celle sur les "major arcs" et pourquoi elle est asymptotiquement proche de ce qu'on obtient avec le modèle aléatoire ? -
$\renewcommand{\gcd}{\mathrm{pgcd}}$@reuns
L'ensemble $\mathcal{A}{'}(x)$ représente un ensemble en relation avec les nombres premiers en général et pas la conjecture de $k$-tuple seulement. On peut prendre par exemple pour $n$ un nombre pair : $\mathcal{A}{'}(n)=\{ (p,n-p)\in\mathbb{P}^2 \}$ ou bien $\mathcal{A}{'}(x)=\{ p=n^2+1\in\mathbb{P} \mid p \leqslant x \}$.
Le cas du $k$-tuple n'est qu'un exemple (exemple2).
Je suis intéressé par les nombres premiers en tant qu'amateur (j'ai le niveau math sup, math spé) et comme j’étudie à la dernière année en ingénierie je ne trouve pas du temps pour attaquer l’analyse complexe ou l'algèbre générale.
Pour le lien avec le modèle aléatoire des nombres premiers, je ne pense pas qu'il y a un lien puisque je suppose une relation non triviale entre les nombres premiers inférieur à $x$ et les nombres criblés jusqu'au rang $q(x)=(1+o(1)) \log(x)$.
Je propose si on peut calculer le cardinal d'autre ensembles pour tester ce modèle, exemple : $$
\sharp\{ k=n^2+1 \mid \gcd(k,{ \prod\limits_{\substack{p \leq q \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}})=1 , \ k \leqslant { \prod\limits_{\substack{p \leq q \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}} \}.
$$ Pour $n$ impaire $$\sharp\{(k_1,k_2,k_3)\in\mathbb{N}^3 \, \mid \, n=k_1+k_2+k_3 \, , \, \gcd(k_i,{ \prod\limits_{\substack{p \leq q \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}})=1 , \ k_1 \leqslant { \prod\limits_{\substack{p \leq q \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}} \}.$$ -
Exemple3:
Soit $n$ un nombre paire.
Soit $\mathcal{A}{'}(n) = \{ (k, n-k) \in \mathbb{P}^2 \, | \, k \leqslant n \}$.
On a : $\mathcal{S}{'}(n, q)=\{ (k, n-k) \in\mathcal{B}_q^2 \mid k \leqslant n \}$.
Utilisant le théorème des restes chinois :
$\mathcal{S}({\displaystyle\prod\limits_{\substack{p \leq q \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}}, q)=\displaystyle\prod_{\substack{3 \leq p \leq q \\ \text{p premier, } p | n}} (p-1) \prod_{\substack{3 \leq p \leq q \\ \text{p premier, } p \nmid n}} {\normalsize (p-2)}=\displaystyle{\small \Big( \prod_{\substack{p | n \\ \text{p premier} \\ p \leq q}} {\normalsize \frac{p-1}{p-2}} \Big)} {\small \Big( \prod_{\substack{3 \leq p \leq q \\ \text{p premier}}} {\normalsize (p-2)} \Big)}.$
D'après la conjecture : $$
\begin{array}{rcl}
\mathcal{A}(n) & \sim & \dfrac{n}{\displaystyle{\small \prod_{\substack{p \leq q(n) \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}}} \ \displaystyle {\small \Big( \prod_{\substack{p | n \\ \text{p premier} \\ p \leq q(n)}} {\normalsize \dfrac{p-1}{p-2}} \Big)} {\small \prod_{\substack{3 \leq p \leq q(n) \\ \text{p premier}}} {\normalsize (p-2)}} \ \dfrac{\log(\log(n))^2}{\log(n)^2}e^{2 \gamma} \\
& \sim & \dfrac{n}{2} \displaystyle {\small \Big( \prod_{\substack{p | n \\ \text{p premier} \\ p \leq q(n)}} {\normalsize \dfrac{p-1}{p-2}} \Big)} \displaystyle {\small \prod_{\substack{3 \leqslant p \leqslant q(n) \\ \text{p premier}}} \Big({\normalsize 1-\dfrac{2}{p}}\Big)} \dfrac{\log(\log(n))^2}{\log(n)^2}e^{2 \gamma} \\
& \sim & \dfrac{n}{2} \displaystyle {\small \Big( \prod_{\substack{p | n \\ \text{p premier} \\ p \leq q(n)}} {\normalsize \dfrac{p-1}{p-2}} \Big)} \dfrac{4 C_2 e^{-2 \gamma}}{\log(\log(n))^2} \dfrac{\log(\log(n))^2}{\log(n)^2}e^{2 \gamma} \\
& \sim & 2 C_2 \displaystyle {\small \Big( \prod_{\substack{p | n \\ \text{p premier} \\ p \leq q(n)}} {\normalsize \dfrac{p-1}{p-2}} \Big)} \dfrac{n}{\log(n)^2}.
\end{array}
$$ On montre que $\displaystyle {\small \Big( \prod_{\substack{p | n \\ \text{p premier} \\ p \leq q(n)}} {\normalsize \dfrac{p-1}{p-2}} \Big)} \sim \displaystyle {\small \Big( \prod_{\substack{p | n \\ \text{p premier}}} {\normalsize \dfrac{p-1}{p-2}} \Big)}$ par la suite:
$$
\mathcal{A}(n) \sim 2 C_2 \displaystyle {\small \Big( \prod_{\substack{p | n \\ \text{p premier}}} {\normalsize \dfrac{p-1}{p-2}} \Big)} \dfrac{n}{\log(n)^2}.$$ -
Pourquoi il n'y aurait pas de lien entre ces deux ensembles de nombres premiers...?je ne pense pas qu'il y a un lien puisque je suppose une relation non triviale entre les nombres premiers inférieur à $x$ et les nombres criblés jusqu'au rang $q(x)=(1+o(1))log(x)$
Cela revient à cribler deux fois . Par exemple:
1_) pour les nombres premiers < $x$ tu cribles bien jusqu'au rang $x$ avec les nombres premiers P $<\sqrt{x}$
2_) il te suffit ensuite pour la même limite, au rang $x$ de cribler de la même manière et le même principe avec les nombres premiers $<\sqrt{2x}$ , et calculer le cardinal de chaque ensemble.
Dans ce crible 2_) au lieu de barrer les entiers A, multiples de P, tu barres les entiers A $\equiv{2x}[P]$.
Il y a bien un lien par les deux cribles ...non ?
Ce qui te donne deux ensembles de nombres premiers (P et q ) avec une densité moyenne en générale, lorsque $\lim {x\to\infty}$ ....sauf erreur... -
@LEG
Si on est arrivé à cribler avec les nombres premiers $\leqslant \sqrt{x}$ on terminait depuis longtemps avec les nombres premiers.
Mon idées est cribler avec les nombres premiers $\leqslant q(x)=(1+o(1)) \log(x)$ (on peut faire ça par le théorème des restes chinois) et j'ai montré le théorème suivant. $$
\frac{\mathcal{S}(x)}{x} \underset{x \to +\infty}\sim \dfrac{R_{q(x)}}{{ \prod\limits_{\substack{p \leq q(x) \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}}}.
$$ Et ma conjecture est : $$
\begin{array}{rcl}
\mathcal{S}(x) & \underset{x \to +\infty}\sim & \mathcal{A}(x) \big( \pi(q(x)) e^{-\gamma} \big)^k \\
&\underset{x\to+\infty} \sim & \mathcal{A}(x) \dfrac{\log(x)^k}{\log(\log(x))^k}e^{- k \gamma} .
\end{array}
$$ Ce qui donne $$
\mathcal{A}(x) \underset{x \to +\infty}\sim x \dfrac{R_{q(x)}}{{ \prod\limits_{\substack{p \leq q(x) \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}}} \ \dfrac{\log(\log(x))^k}{\log(x)^k} \ e^{k \gamma}.
$$ J'ai testé cette conjecture pour la conjecture de $k$-tuple, la conjecture de Goldbach, les nombres premiers consécutifs.
Je propose si quelqu'un peut calculer des $R_{q(x)}$ pour autres ensembles en relation avec les nombres premiers pour tester la conjecture. -
J'ai posé une question dans MathOverflow : is there a link with the probabilistic model for prime numbers?
-
T'as du bol, Sylvain s'est intéressé à ta question.. (:P)
Je ne vois pas ce que tu demandes, j'ai déjà répondu à tes questions.
On a déjà dit 50 fois qu'avec $f$ une fonction sympa style $f(n)=n(n+2)$ et
$E(x,k,f) = \{ n\le x, \gcd(f(n),k\#)=1\}$ alors dans tous tes posts tu supposes que $E(x,k,f)$ est distribué à peu près pareil pour $x= k^2$ que pour $x=k\#$.
Le CRT permet de calculer précisément le cardinal de $E(k\#,k,f)$.
Oui c'est pareil que le modèle aléatoire des nombres premiers.
Tu ne peux déduire aucun théorème non-trivial de cette méthode (ni du modèle aléatoire, que des conjectures...).
Ta question sur mathoverflow est naze : calculer précisément le cardinal de $E(k\#,k,f)$ c'est trivial. On obtient un produit sur les premiers $\le k$ qu'on estime avec le PNT.
Le mystère c'est pourquoi n'es-tu pas capable de présenter ton truc aussi simplement que je viens de le faire.
Tu devrais regarder une preuve du PNT, pour voir le gap qu'il y a entre les méthodes standards en théorie analytique des nombres et les trucs qu'on peut montrer par les méthodes élémentaires. -
Reuns, s'il te plaît, essaie d'être un peu plus gentil et un peu moins condescendant. Tout le monde n'a pas tes connaissances ni tes capacités.
-
C'est vrai que je n'ai pas les connaissances de reuns (pour le moment), mais je ne vois aucune réponse à mes questions!
1)
reuns écrivait:
> dans tous tes posts tu supposes que $E(x,k,f)$ est distribué à peu près pareil pour $x= k^2$ que pour $x=k\#$.
Je ne sais pas comment tu as fait cette conclusion, parce que c'est vrai que pour $k < x < k^2$ le compteur $\#E(x,k,f)$ retourne le nombre des éléments premiers. Alors qu'aucune densité connue pour $\#E(x=k^2,k,f)$ (voir que montrer que $\#E(x=k^2,k,f) \geq 1$ pour $k \geq m$ vous permet de montrer l'infinitude des nombres premiers jumeaux, ...) et je ne me suis pas basé sur cela dans ma conjecture, il faut voir que le grand nombre des premiers se trouvent $k^2 \leq p \leq k\#$.
2)
reuns écrivait:
> Ta question sur mathoverflow est naze : calculer précisément le cardinal de
> $E(k\#,k,f)$ c'est trivial. On obtient un produit sur les premiers $\le k$ qu'on estime avec le PNT.
Alors cela est bizarre, je n'ai pas demandé de calculer $\#E(k\#,k,f)$, j'ai demandé de vérifier s'il y a un lien entre ma conjecture et le modèle aléatoire des nombres premiers.
3) reuns écrivait :
> Oui c'est pareil que le modèle aléatoire des nombres premiers.
Je ne vois pas de preuve ! Et c'est ça ma question dans MathOverflow ?
Reuns, je vous propose de montrer que $\frac{\mathcal{S}(x)}{x} \underset{x \to +\infty}\sim \dfrac{R_{q(x)}}{{ \prod\limits_{\substack{p \leq q(x) \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}}}$ d'abord (une chose que j'ai fait d'une façon élémentaire).
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