Aide sur un exo $p$-adique

johnsmoke · January 2020

Bonjour
J'ai du mal à résoudre l'exo suivant.

Soit $x \in \Q_p^*$ tel que pour tout $n \ge 0$ premier à $p$, l'équation $y^n=x$ admet une solution. Montrer que $x \in 1 +p\Z_p$.

J'essaye de faire tendre $n$ vers l'infini mais sans succès.
Merci de votre aide.
JS

reuns · January 2020

$v(x^{1/n})= v(x)/n$ donc $x\in \Z_p^\times$ donc $x\bmod p$ est dans $F_p^\times$. Tu peux finir la direction $\implies$ ?

L'autre direction c'est la série binomiale $(1+pa)^{1/n}=\sum_{k\ge 0} {1/n\choose k} p^k a^k$ (version explicite du lemme d'Hensel pour les racines de $y^n-1-pa$)

malavita · January 2020

Pour faire tendre vers l'infini, il suffit d'effecteur un raisonnement par l'absurde. Si la valuation de $x$ était strictement positive, alors la valuation de toute racine $n$-ième de $x$ serait également strictement positive et l'on aurait alors :$v(x)=v(y^n)=nv(y) \geq n$. Ce qui pose effectivement problème lorsque $n$ tend vers $+\infty$. La valuation de $x$ ne saurait donc être strictement positive, un raisonnement similaire montre qu'elle ne pourrait être strictement négative....
A ce stade, on a donc montré que $x=a+pz$ avec $a \in \{1,\cdots,p-1\}$ et $z \in \Z_p$.
Reste à justifier que $a=1$.

A+

F.

PS: Pour justifier que $n$ peut tendre vers $+\infty$, il faut préciser que l'ensemble des entiers positifs premiers à $p$ n'est pas borné.

Aide sur un exo $p$-adique

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 19