Extension abélienne
dans Arithmétique
Bonjour
j'ai 3 corps $K\subset L\subset M$ .
$M/K$ est galoisienne. (soit $G$ son groupe de Galois)
$L/K$ est abélienne
On note $H$ le groupe de Galois de $M/L$
Il faut prouver que $G'\subset H$ ($G'$= groupe dérivé engendré par les commutateurs)
Je sèche !
La réciproque est facile car alors $H$ est distingué dans $G$, $L/K$ est donc galoisienne et $G/H$ est abélien (les commutateurs étant triviaux dans le quotient)
Mon problème est qu' a priori $H$ n'est pas distingué et $L/K$ n'est pas galoisienne son groupe de Galois n'étant donc pas a priori égal à $G/H$.
Quelque chose m'échappe sans doute
j'ai 3 corps $K\subset L\subset M$ .
$M/K$ est galoisienne. (soit $G$ son groupe de Galois)
$L/K$ est abélienne
On note $H$ le groupe de Galois de $M/L$
Il faut prouver que $G'\subset H$ ($G'$= groupe dérivé engendré par les commutateurs)
Je sèche !
La réciproque est facile car alors $H$ est distingué dans $G$, $L/K$ est donc galoisienne et $G/H$ est abélien (les commutateurs étant triviaux dans le quotient)
Mon problème est qu' a priori $H$ n'est pas distingué et $L/K$ n'est pas galoisienne son groupe de Galois n'étant donc pas a priori égal à $G/H$.
Quelque chose m'échappe sans doute
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Réponses
J'avais en tête qu'une extension abélienne était simplement une extension dont le groupe de Galois était abélien même si elle n'était pas galoisienne c'est à dire si K n'est pas égal au corps des invariants.
Ah, là, là .... quand on ne connait pas son cours ...
Merci pour la rectification
J'ai copié 100 fois la définition d'une extension abélienne !
Par exemple avec $K=\Q,L=\Q(2^{1/4})$ alors $G = \{ 2^{1/4}\to \pm 2^{1/4}\}$ et $L^G = \Q(2^{1/2})$ et $L/L^G$ est abélienne de degré $2$.