Diophante et Dirichlet
dans Arithmétique
Bonne année à tous,
un petit défi. $$
\begin{matrix}
0& x& 0& 0& 0& 0& 0\\[1mm]
0& a& b& c& d& e& 0 \\[1mm]
0& f& g& h& i& j& 0 \\[1mm]
0& 0& 0& 0& 0& 0& 0
\end{matrix}
$$ Ces onze lettres sont des entiers naturels et chacune, sauf $x$, est la moyenne (arithmétique) de ses quatre voisines latérales. Trouver ces onze nombres de façon qu'ils soient étrangers dans leur ensemble (i.e. trouver la solution minimale).
Et ce avec papier et crayon seulement.
Amicalement
Paul
Merci Alain pour cette belle mise en page
[À ton service :-) AD]
un petit défi. $$
\begin{matrix}
0& x& 0& 0& 0& 0& 0\\[1mm]
0& a& b& c& d& e& 0 \\[1mm]
0& f& g& h& i& j& 0 \\[1mm]
0& 0& 0& 0& 0& 0& 0
\end{matrix}
$$ Ces onze lettres sont des entiers naturels et chacune, sauf $x$, est la moyenne (arithmétique) de ses quatre voisines latérales. Trouver ces onze nombres de façon qu'ils soient étrangers dans leur ensemble (i.e. trouver la solution minimale).
Et ce avec papier et crayon seulement.
Amicalement
Paul
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Réponses
0& 7920& 0& 0& 0& 0& 0\\[1mm]
0& 2339& 750& 256& 90& 29& 0 \\[1mm]
0& 686& 405& 184& 75& 26& 0 \\[1mm]
0& 0& 0& 0& 0& 0& 0
\end{matrix}
$$ Avec une petite calculette pour aide, tout de même.
Bravo!
Comment t'y es-tu pris?
[/size]
Pour tout $k=1,\ldots,4$ on a $a_{k+1}=3a_k-a_{k-1}$ et $b_{k+1}=5b_k-b_{k-1}$ avec pour convention $a_0=b_0=0$, ce qui permet d'exprimer par récurrence $a_k$ et $b_k$ en fonction de $a_1$ et $b_1$. On trouve que $a_5=55a_1$ et $b_5=551 b_1$.
Comme $4f=a+g$, on trouve que $4(55a_1-551b_1)=55a_1+551b_1+21a_1-115b_1$, ce qui se simplifie en $3a_1=55b_1$.
La plus petite solution est $a_1=55$ et $b_1=3$.
On résout (j'ai fait par substitution) et reste 348i = 900e et 3420e = x + 900i.