L'équation $x^y = z$

Bonjour.

Si z est strictement positif, on utilise les logarithmes des deux membre.
Si z est nul et pas y, la seule solution est x=0
Enfin, si z est strictement négatif, tout dépend des différentes définitions de puissances (*) que tu as.

Bien entendu, si tu avais dit au départ qui sont x, y et z, on aurait pu être plus précis.

Cordialement.

(*) il n'y a pas de définition générale de $x^y$, il y a des définitions partielles, pas toujours compatibles entre elles.

Bonjour,

Si $y=0$, ...

Si $y\neq 0$, $(x^y)^{1/y}=x$... pour $x>0$.

Pour $x<0$, $y$ entier pair ou $y$ entier impair...

Il y a d’autres cas à traiter et c’est assez long... mais ça te donne une idée.

La fonction \(x\mapsto x^{50}\) est :
— paire, ce qui permet de restreindre l'étude à \(x\) positif ;
— bijective de \([0,+\infty[\) sur lui-même.

L'équation a donc une unique solution positive, que l'on note conventionnellement \(\sqrt[50]{24}\) ou \(24^{1/50}\).
On dispose d'algorithmes permettant d'obtenir des valeurs approchées de cette solution.

L'équation a une seconde racine, négative : \(-\sqrt[50]{24}\).