Formule pour des sommes

Cucherat
Cucherat
dans Arithmétique
Que vaut : $$
\sum _{k=0}^{n^3} \lfloor\sqrt{nk}\rfloor+\sum _{k=0}^{n^2} \Big\lfloor\dfrac{k^2}{n}\Big\rfloor \qquad ?$$

Réponses

  • noix de totos
    noix de totos
    $n^5 + O(n^3)$.
  • Cucherat
    Cucherat
    Oui, $n^5+n$.
  • gerard0
    gerard0
    Heu .. pour n=3, la somme du premier message vaut 175. $n^5+n = 246$.

    Explique-toi clairement !!
  • Cucherat
    Cucherat
    Je ne vois pas mon erreur. $153+93=246$.95220
    ger.PNG 23.6K
  • Math Coss
    Math Coss
    L'expression $n^5+n$ est suspecte. 
    sage: def f(N):
....:     S = add(floor(sqrt(N*k)) for k in range(N^3+1))
....:     S+= add(floor(k^2/N) for k in range(N^2+1))
....:     return S
....: 
sage: f(3)
246
sage: [f(k)-k^5-k for k in range(1,21)]
[0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 8, 18, 0, 0, 12, 0, 0, 0, 48, 0, 36, 0, 20]
  • Cucherat
    Cucherat
    Aille! Aille! Il manque donc l’hypothèse $n$ est squarefree ( non divisible par un carré plus grand que $1$).
  • Math Coss
    Math Coss
    Ça devient plausible. 
    sage: [(k,f(k)-k^5-k) for k in range(1,53) if is_squarefree(k)]
[(1, 0), (2, 0), (3, 0), (5, 0), (6, 0), (7, 0), (10, 0), (11, 0), (13, 0),
 (14, 0), (15, 0), (17, 0), (19, 0), (21, 0), (22, 0), (23, 0), (26, 0),
 (29, 0), (30, 0),(31, 0), (33, 0), (34, 0), (35, 0), (37, 0), (38, 0),
 (39, 0), (41, 0), (42, 0), (43, 0), (46, 0), (47, 0), (51, 0)]
  • Cucherat
    Cucherat
    Dans un repère orthonormé on considère les points $\,A(n^3;n^2)\quad ; \,B(n^3;0)\quad ;\, C(0;n^2)$; et $\Gamma$ la courbe représentative de $f:\,x \mapsto\sqrt{nx}$. Dans le rectangle $OCAB$ il y a $n^5$ points à coordonnées entières, on ne compte pas les points de $[OC]$ ni ceux de $[OB]$.

    Le nombre de points à coordonnées entières situés sous $\Gamma$ est $\displaystyle \sum _{k=0}^{n^3}\lfloor \sqrt{kn}\rfloor$. La bijection réciproque de $f$ est $g:\,x \mapsto \frac{x^2}{n}$ et la quantité $\displaystyle \sum _{k=0}^{n^2} \big \lfloor \dfrac{k^2}{n}\big\rfloor$ représente le nombre de points à coordonnées entières situés dans le rectangle $OCAB$ et au dessus de $\Gamma$.

    L'addition du premier message vaut donc $n^5+$ le nombre de points de $\Gamma$ à coordonnées entières. Il reste donc à établir que ce nombre est $n$, dans le cas où $n$ est sans facteur carré.

    La figure est faite avec $n=10$95242
  • Cucherat
    Cucherat
    En fait on a équivalence entre :

    (1) $n$ est sans facteur carré

    (2) pour tout $k$, $(1\leq k \leq n^2) $; $\dfrac {k^2}{n}$ est entier ssi $k$ est multiple de $n$

    (3) la courbe $\Gamma$ contient $n$ points à coordonnées entières.
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