Valuation non archimédienne et corps résiduel

Et pour dire que $\pi_v$ existe tu supposes que c'est une valuation discrète (à valeur dans $r \Z$), par exemple $\bigcup_n \Cx^{1/n}$ est un anneau de valuation non discrète, son unique idéal premier non-nul n'est pas finiment généré. Il y a aussi des anneaux de valuation à valeur dans un groupe abélien ordonné qui n'est pas un sous-groupe de $\R$, par exemple $ky+xk((y))x$, qui a deux idéaux premiers non-nuls, $(y)$ et $xk((y))x$.

Si $O_v$ est un anneau de valuation discrète, qui donne une topologie, alors il est précompact (sa complétion est compacte) ssi $O_v/(\pi_v)$ est fini.

La définition de corps local c'est $\R,\C$ ou extension finie de $\Q_p$ ou $\Bbb{F}_p((x))$.

Si $O_v$ est un anneau de valuation discrète complet compact alors son corps résiduel est fini $\cong \Bbb{F}_{p^k}$ donc $O_v$ contient $\zeta_{p^k-1}$,

Si $char(O_v)=p$ alors $O_v$ contient $\Bbb{F}_p[\zeta_{p^k-1}]=\Bbb{F}_q$, et $\pi_v$ n'est pas algébrique sur $\Bbb{F}_q$ donc $O_v$ contient $\Bbb{F}_q\pi_v\cong \Bbb{F}_qx$, et comme ce sous-anneau est complet avec le même uniformiseur et corps résiduel on a $O_v=\Bbb{F}_q\pi_v\cong \Bbb{F}_qx$.

Sinon $char(O_v)=0$, alors $p\in (\pi_v)$ donc $O_v$ contient la complétion de $\Z[\zeta_{p^k-1}]$ qui est $\Z_p[\zeta_{p^k-1}]$,
et $\pi_v$ doit être algébrique sur $\Z_p[\zeta_{p^k-1}]$ (pourquoi ?) donc $O_v =\Z_p[\zeta_{p^k-1},\pi]= O_K$ avec $K$ une extension finie de $\Q_p$.