Anneaux d'entiers de type fini

viko · January 2020

Bonjour
On considère un corps de nombre $K$ et on souhaite montrer que son anneau d'entier $\mathcal{O}_K$ est de type fini comme $\mathbb{Z}$-module. Dans le livre que j'utilise on montre qu'il existe des $f_1,\ldots ,f_n \in \mathcal{O}_K$ et un entier $d$ tel que : $$

\sum \mathbb{Z}f_ i \subset O_K \subset \frac{1}{d} \left( \sum \mathbb{Z}f_ i \right).

$$ D'après l'auteur ceci termine la preuve, personnellement je ne vois pas pourquoi. Étant donné que je ne connais pas grand chose sur la théorie des modules je pense qu'il y a une propriété pas compliquée sur les $\mathbb{Z}$-modules libre/de type fini à invoquer pour conclure, quelle est cette propriété ?

PS. Je crois qu'il est faux de dire qu'un sous-$A$-module d'un $A$-module de type fini est de type fini mais c'est peut-être vrai pour les $\mathbb{Z}$-modules.

Boole et Bill · January 2020

Bonjour, c’est tout ce que je peux faire pour l’instant :

raoul.S · January 2020

viko a écrit:

Je crois qu'il est faux de dire qu'un sous-A-module d'un A-module de type fini est de type fini mais c'est peut-être vrai pour les $\mathbb{Z}$-modules

Effectivement si l'anneau est noethérien c'est vrai https://fr.wikipedia.org/wiki/Anneau_noethérien#Propriétés. Après je n'en sais pas plus.

marco · January 2020

Si $A$ n'est pas noethérien, ce n'est pas nécessairement vrai. Par exemple, pour $A$ l'anneau des polynômes à coefficients dans un corps $K$ en un nombre dénombrable de variable $X_1, X_2, \ldots, X_n, \ldots$.
Si le module $M$ est $A$ lui-même et si le sous-module $N$ de $M$ est l'idéal de $A$ engendré par toutes les variables $X_1, \ldots, X_n, \ldots$, alors $M$ est un $A$-module de type fini (engendré par $1$) et $N$ est un sous-module qui n'est pas de type fini.

reuns · January 2020

Si $A$ est un $\Z$-module finiment généré et $A\supset B\supset nA$ alors $A/nA$ est un groupe fini donc $B/nA$ est un groupe fini et $B = nA+\sum_{b\in B/nA}\Z\ b$ est finiment généré.

Si $A$ est sans torsion alors $\Q A$ est un espace vectoriel de dimension $d$ donc $A$ et $B$ sont des $\Z$-modules libres de rang $d$.

viko · January 2020

Bon et bien je crois que cette fois je ne vais pas pouvoir y couper, je vais devoir apprendre la théorie des modules, au moins le début. Pour ça le poly fourni par Boole Et Bill semble parfaitement adéquat, je le remercie.

@Reuns Pourquoi $A/nA$ est fini ? C'est ce point particulier qui me gêne.

Poirot · January 2020

@viko : si $A$ est un $\mathbb Z$-module de type fini, tout élément peut s'écrire sous la forme $\sum_{i=1}^m n_i a_i$ où les $n_i$ sont des entiers et $a_1, \dots, a_m$ une famille génératrice. Tout élément de $A/nA$ s'écrit alors sous la forme $\sum_{i=1}^m \bar{n_i} \bar{a_i}$, avec $\bar{n_i}$ la réduction modulo $n$ de $n_i$, et il n'y a qu'un nombre fini de tels éléments (au plus $n^m$).

viko · January 2020

@Poirot Merci, je ne pensais pas qu'on pouvait le faire à la main

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