Anneaux d'entiers de type fini
dans Arithmétique
Bonjour
On considère un corps de nombre $K$ et on souhaite montrer que son anneau d'entier $\mathcal{O}_K$ est de type fini comme $\mathbb{Z}$-module. Dans le livre que j'utilise on montre qu'il existe des $f_1,\ldots ,f_n \in \mathcal{O}_K$ et un entier $d$ tel que : $$
\sum \mathbb{Z}f_ i \subset O_K \subset \frac{1}{d} \left( \sum \mathbb{Z}f_ i \right).
$$ D'après l'auteur ceci termine la preuve, personnellement je ne vois pas pourquoi. Étant donné que je ne connais pas grand chose sur la théorie des modules je pense qu'il y a une propriété pas compliquée sur les $\mathbb{Z}$-modules libre/de type fini à invoquer pour conclure, quelle est cette propriété ?
PS. Je crois qu'il est faux de dire qu'un sous-$A$-module d'un $A$-module de type fini est de type fini mais c'est peut-être vrai pour les $\mathbb{Z}$-modules.
On considère un corps de nombre $K$ et on souhaite montrer que son anneau d'entier $\mathcal{O}_K$ est de type fini comme $\mathbb{Z}$-module. Dans le livre que j'utilise on montre qu'il existe des $f_1,\ldots ,f_n \in \mathcal{O}_K$ et un entier $d$ tel que : $$
\sum \mathbb{Z}f_ i \subset O_K \subset \frac{1}{d} \left( \sum \mathbb{Z}f_ i \right).
$$ D'après l'auteur ceci termine la preuve, personnellement je ne vois pas pourquoi. Étant donné que je ne connais pas grand chose sur la théorie des modules je pense qu'il y a une propriété pas compliquée sur les $\mathbb{Z}$-modules libre/de type fini à invoquer pour conclure, quelle est cette propriété ?
PS. Je crois qu'il est faux de dire qu'un sous-$A$-module d'un $A$-module de type fini est de type fini mais c'est peut-être vrai pour les $\mathbb{Z}$-modules.
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Réponses
Effectivement si l'anneau est noethérien c'est vrai https://fr.wikipedia.org/wiki/Anneau_noethérien#Propriétés. Après je n'en sais pas plus.
Si le module $M$ est $A$ lui-même et si le sous-module $N$ de $M$ est l'idéal de $A$ engendré par toutes les variables $X_1, \ldots, X_n, \ldots$, alors $M$ est un $A$-module de type fini (engendré par $1$) et $N$ est un sous-module qui n'est pas de type fini.
Si $A$ est sans torsion alors $\Q A$ est un espace vectoriel de dimension $d$ donc $A$ et $B$ sont des $\Z$-modules libres de rang $d$.
@Reuns Pourquoi $A/nA$ est fini ? C'est ce point particulier qui me gêne.