Fonction de compte des nombres premiers

Plus généralement, les sommes en théorie des nombres sont considérées comme des fonctions de la variable réelle et non plus simplement des suites. À cela au moins deux raisons :

1. On y gagne ce que l'on gagne lorsque l"on passe du discret au continu ;

2. Il arrive souvent (voire très souvent) que, dans certains calculs, par exemple avec des sommes imbriquées que l'on intervertit, l'on se retrouve avec des sommes de la forme $\displaystyle \sum_{n \leqslant x/d}$ ou bien $\displaystyle \sum_{n \leqslant \sqrt x}$. On est alors bien content d'avoir prolongé la notion usuelle de somme aux bornes réelles.

Je répète un peu ce que dit ndt, mais il est fréquent en théorie analytique des nombres de découper des sommations en des sous-intervalles dyadiques, ou logarithmiques par exemple, dont les bornes n'ont aucune raison d'être exactement des entiers.

Et sinon, l'idée c'est que pour comprendre une suite on a besoin d'une fonction génératrice. On n'a pas directement de fonction génératrice pour $\pi(x)$, à la place on a $$\log \zeta(s) = \log \prod_p (1-p^{-s})^{-1}=\sum_{p\ premier,k\ge 1} \frac{p^{-sk}}{k} = s\int_1^\infty (\sum_{p^k\le x} \frac1k) x^{-s-1}dx$$
Donc on remplace systématiquement la suite des nombres premiers par celle des puissances de nombres premiers pondérées par $1/k$,
et on remplace $\pi(x)$ par $\sum_{p^k\le x} \frac1k$.

Enfin comme $\zeta(s)$ a un pôle simple en $s=1$, son logarithme a une singularité logarithmique en $s=1$, et donc on le remplace par sa dérivée $\frac{-\zeta'(s)}{\zeta(s)}$ pour obtenir une fonction méromorphe avec un pôle simple en $1$, ce qui revient à remplacer $\sum_{p^k\le p} \frac1k$ par $\sum_{p^k\le x} \log p$, on passe de l'un à l'autre avec une sommation par partie.

L'hypothèse de Riemann devient alors que $\frac{-\zeta'(s)}{\zeta(s)}$ ressemble à $\zeta(s)$ sur $\Re(s) > 1/2$, ce qui donne que $\sum_{p^k\le x} \log p=x+O(x^{1/2+\epsilon})$.

La réponse est simple, on travaille avec la fonction en escalier $\pi(x)$, par exemple pour $\Re(s) > 1$ on montre que :
$$\log \zeta(s)=s \int_2^{+\infty} \dfrac{\pi(x)}{x (x^s-1)} dx$$